有一个研究报告说，北美的那契（Natchez）印地安人部落实行过一种独特的等级婚配制度，但是这种制度很快就崩溃了。崩溃的原因来自这个制度本身的缺陷：部落内各等级人数的变化不支持这种制度。

那契印地安人的婚配制度是这样的：部落中把所有成员分成上等人和下等人，上等人按等级由高到低又分成太阳、贵族和高官三级。部落规定，上等人不能和上等人结婚，上等人只能和下等人结婚；下等人可以和下等人结婚，也可以和上等人结婚。部落还规定子女的等级承袭制度如下。父亲为上等人、母亲为下等人的孩子按父亲的级别下降一级，例如父亲为太阳等级、母亲为下等人的孩子属贵族等级，父亲为贵族等级、母亲为下等人的孩子属高官等级等等。父亲为下等人、母亲为上等人的孩子则继承母亲的级别，例如父亲为下等人、母亲为太阳等级的孩子属太阳等级，父亲为下等人、母亲为贵族等级的孩子属高贵族等级等等。各种类型的夫妻和他们的下一代的等级关系如下表所示。

这种婚配制度反映了那契印地安人朴素的平等思想和母系社会的某些特征。

我们希望通过建立一个数学模型来解释这种婚配制度崩溃的原因。由于人口问题比较复杂，我们必须对所研究的情况作一些简化假设。

1． 假设那契印地安人中的男性人数和女性人数相等，每个等级中的男女人数也相等；

2． 假设一对夫妇一生只生育一对子女，男女各一；

3． 假设那契印地安人每个人一生结婚一次，且只和同代人结婚；

4． 在我们考察的开始时间，下等人多于上等人。

以上假设看起来是合理的。例如对假设1和假设2，大多数的事实显示，一个民族中两性人数差不多相等；在通常的情况下，新生婴儿的两种性别的比例大体相等；假设2和假设3也合乎大多数民族的传统，至少还没有材料说明那契印地安人实行多配偶制。当然，所作的假设也是为了简化问题，特别是假设4。

为叙述方便起见，我们下面称太阳等级为第一等级，称贵族为第二等级，称高官为第三等级，称下等人为第四等级。以记第等级第代中男性的人数。由于假设那契印地安人各等级中男女人数相等，也是第等级第代中女性的人数。

下面我们分析各等级的人数如何变化。

下一代太阳等级的男孩只可能来自这样的家庭：太阳等级的母亲和下等人等级的父亲。这样的家庭数等于上一代的太阳等级女性人数。由于各个等级男性人数和女性人数相等，下一代太阳等级的男性人数也和上一代的太阳等级男性人数相等。因而有

＝

下一代贵族等级的男孩人数只可能来自这样两类的家庭:贵族等级的母亲和下等人等级的父亲，或是下等人等级的母亲和太阳等级的父亲。因而下一代贵族等级的男性人数应该等于上一代的贵族等级的女性人数与上一代太阳等级的男性人数之和。同样由于各个等级男性人数和女性人数相等，下一代贵族等级的男性人数也应该等于上一代的贵族等级的男性人数与上一代太阳等级的男性人数之和。这样，有

=+

同样，下一代高官等级的男性人数应该等于上一代的高官女性人数与上一代的贵族等级的男性人数之和，因而下一代高官等级的男性人数也应该等于上一代贵族等级的男性人数与上一代的高官等级男性人数之和。这样，有

=+

根据那契印地安人的婚配制度，下一代下等人只可能有下面两种类型的双亲：高官的父亲和下等人的母亲，或下等人的父母亲。第一种类型的夫妻数目为，第二种类型的夫妻数目与上一代下等人男性中除去和上等人等级女性结婚的人数，即

所以下一代的下等人男性人数满足

=+()

=--

这样，那契印地安人按等级分类的人口模型为

=

=+

=+

=--

我们来讨论上述差分方程组1～4的一些性质。

1. 将方程组1～4的两边分别相加，得

上述方程的左端表示的是第代那契印地安人男性的总数，右端表示的是第代那契印地安人男性的总数。方程说明，任何一代那契印地安人男性的总数相等。由于各代男、女性人数相等，这也说明，任何一代那契印地安人女性的总数相等，任何一代那契印地安人的总人数相等。这是本案例假设的自然推论。

2．这是一个可以求出解的表达式的差分方程组。设最初（）时四个等级的男性数依次为。由假设4，开始时下等人人数多于上等人人数：。

由方程组的第一个方程，太阳族的人数不变，所以

=

以这个表达式代入第二个方程，得

以这个表达式代入第三个方程，得

这样，在每一代男性总人数不变的情况下，上等人的总人数随着人口的繁衍，一代比一代地增多。要不了经过几代，上等人的人数就会大大地大于下等人的人数，“上等人只能与下等人结婚”的婚配制度就无法施行下去，这必然导致这种婚配制度的崩溃。

作为差分方程的应用，我们研究下面一个问题：