本次讲内容包括：学习了前面五个环节的内容，学员完成了5个作业，本讲主要对部分学员的作业进行分析点评。

学员：徐磊

数学—初高中衔接

环节一　 方程与代数作业

本次作业内容包括：代数式求值、因式分解、分式及其运算、方程和不等式（组）、一元二次方程、二元二次方程组、列方程不等式（组）解应用题。

一、代数式求值

练习选讲

一、填空

1、若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则此三位数可表示为　　　　　　　　　　　　　　　 .（答：100c+10b+a）

2、广州市出租车收费标准为：起步价7元，3千米后每千米价2.6元，则某人乘坐出租车x（x>3）千米的付费为　　　　　　　　元。(答：2.6x-0.8)

3、 一件上衣的原价是a元，由于反季节降价20%销售，其零售价是　　　　　　 .(答：80%a)

4、用代数式表示：

（1）长、宽、高分别为a、b、c的长方体的表面积；答：2ab+2bc+2ac

（2）x的平方的2倍与y的平方的差;答：

（3）m千克含盐为p﹪的盐水含水多少千克？答：

[分析]

以上4道小题是教师为训练学生写代数式而准备的。由于我们的学生不是初中学生。已有一定的解题能力，故无需在这里重复这方面的内容。

二、简答题

5、如图，是由形状大小完全相同的梯形构成的，试观查图形并填表：

[分析]

这两道简答题用的比较好。这道题的形式在初中不常见，但是在高中数学中恰是必学的。它考查了学生归纳的能力，通过特殊例子归纳出一般规律，这在高中《数列》一章中是比较常见的，故而此题为今后的学习做了很好的铺垫。

6．直线与两坐标轴所围成的三角形，则①利用表示三角形面积。②若不大于1，那么的取值范围？ (答：①其中,②)

[分析]

此题放在这里要求较高。不妨可放在《不等式》一节中。它既考查了学生写函数解析式，解不等式的能力。同时也渗透了数形结合的思想方法。同时，教师在讲解过程中，应对k=0的情况加以分析。这块内容在今后写函数定义域时，学生会常常出错。

二、因式分解

练习选讲

一、选择题

1、下列各式的因式分解中正确的是（ D ）

(A)-a2+ab-ac= -a(a+b-c)　　　 (B)9xyz-6x2y2=3xyz(3-2xy)

(C)3a2x-6bx+3x=3x(a2-2b)　　　 (D)xy2+x2y=xy(x+y)

2、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ C　　 ）

(A)(a-2)(m2+m)　　　 (B)(a-2)(m2-m)　　　 (C)m(a-2)(m-1)　　　 (D)m(a-2)(m+1)

3、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（ C ）

(A) 　(B)　 (C)　 (D)

[分析]

三道选择题都是考查锻炼学生因式分解的基本方法的掌握情况。在这里，意义不大。因为，我们的学生已参加中考。对这方面的能力已基本掌握。老师应将“衔接”作为教学的主要目标，而仅仅是复习。特别是第3题，高中并不要求学生死记硬背，不需要强记具体方法的适用范围。

二、填空题

4、分解因式：m3-4m=　 　　　　　　.

5、已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为　 24　 .

6、将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y)，则n的值为　　　 .

7、观查图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是　　　 　　　　　　　.

[分析]

其中第4，5，6题意义不大。教师还是在强调复习。并未将“衔接”“补漏”作为教学目标。我们旨在将学生在初中未掌握的或未接触的内容而恰恰是高中必需掌握的内容补充给学生。所以不适合将大量的时间放在基础提的训练上。而应该将内容提升。第7题，选的很好。利用图像来证明等式或不等式对高中的学习很重要。在数学课本高一（上）中，就是利用图像的面积来证明基本不等式的。所以，教师不仿在这里补充这块内容作为本题的提升，可以起到更好的效果。

三,解答题

8、阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]

=(1+x)2(1+x)

=(1+x)3

(1)上述分解因式的方法是　　 提取公因式法　　　 ，共应用了　　　 3 次.

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法　 2005　 次，结果是　　　　　.

(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数)

[分析]

这道题选的比较好。利用到了“归纳——猜想”的思想方法。为今后《数列》《二项式》等内容做了很好的铺垫，学生也会逐渐的接受这种思考方式。

三、分式及其运算

练习选讲

一、选择题

1.如果下列分式有意义，则x的取值是任意实数的是（C　 ）

2．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ B ）

A．-2　　　 B．2　　　 C．±2　　 D．4

3.方程的解是（ D ）

A．1　　　 B．-1　　　 C．±1　　　 D．0

[分析]

这三道选择题旨在让学生理解分式的概念。由于，在教材中这方面的内容已涉及。故无需花大量时间在测试学生的理解和掌握上。这块内容应该是学生早已掌握的内容。

二、填空题:

4．化简：＝　　　　　　　．

[分析]

这道题虽简单但学生容易忘记a≠2。在高中《函数》一章中，学生容易忘记写定义域，因此，教师在这里埋下伏笔。比较恰当。

5．已知a2-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子（）的值为________．

[分析]

此题是考查学生的代数式的理解能力。两个大于等于0的数之和为0，则两个数均为0.放在《分式》一节中不妥，建议将它放在《方程》一节中。

三．解答题

6．已知关于x的方程有一个正数解，求m的取值范围．（）

[分析]

此题选的较好。题目虽简单，但考查了学生的理解变量的能力。同时利用有解的形式将问题转化为有不等于3的正解。

7．某货车在发生交通事故后，沿一条小路向高速公路逃离，交警巡逻车立即沿另一公路向高速追击，在货车刚进入高速公路路口时，将它截住．已知警车的速度比货车快40千米/时，警车驶到高速公路行驶的路程是货车的2倍，求警车的速度．（解：设警车速度为，则货车速度，得方程解得千米/时）

[分析]

此题是一道关于分式方程的应用题。在这里，对“衔接”的意义不大。分式应用题这部分内容应该是学生早已掌握的内容。所以，在这里不妨将问题提升，将例题改编为不等式。

四、方程和不等式（组）

练习选讲

一、选择题

1、不等式|x－4|＋1>0的解集是（　 C ）。

（A）{x| x>5或x<3}　 （B）{x| 3<x<4}　 （C）R　 （D）

2、(2004年北京卷）已知a、b、c满，且，那么下列选项中不一定成立的是 （　 C ）

A B． C． 　 D．

[分析]

两道选择题虽然简单，但都考查了学生对不等式性质的掌握。学生常常会将第1题中的不等式两边平方，产生错误。第二题，由于在初中所给的性质定理大都不用较多的字母表示，因而学生常常害怕看到大量的字母题。在这里，起到了很好的训练作用。

二、填空题　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3、不等式组的整数解是　　　　 　　　．

4. 方程组的解为　　 　　　　　　　．

5．(2004年全国卷IV)设函数，则使得的自变量的取值范围为 ＿＿ ．

[分析]

填空3，4在这里还是旨在训练学生的计算能力。作用不大。我们的学生大都已经具有这方面的能力。

填空5是一道高考题，考查了学生解不等式的能力。但由于是以函数的形式给出，学生常常不知所措。本题将不等式很好的和函数结合在一起，开阔了学生的视野。建议，教师不妨可以加上利用图像解的方法。增强学生利用图形解题的能力。

三、简答题

6、解方程：①；②＋x＝－1（解：①或②）

[分析]

本题还是旨在训练学生计算能力，在这里用处不的。但教师可以适当选择并加以提升（可以加上变量讨论）。

7、 设不等式对满足的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围。

解析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式进行分类讨论。然而，若变换一个角度以m为主元，记，则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在区间[－2，2]内恒负时参数x应该满足的条件。

要使，只要使

即从而解得。

[分析]

本例采用变更主元法，化繁为简，再巧用函数图象的特征（一条线段），解法易懂易做。是一道好题。让学生感受如何从一个含有多个变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。同时，教师可以配上图像辅助解题，加深理解。

五、一元二次方程

知识要点

定义：只含一个未知数，且未知数的最高次是2的整式方程有两边相等的三角形是等腰三角形。

性质：1、一元二次方程解法：1）因式分解法2）开平方法3）配方法4）公式法

2.一元二次方程的根的判别式

当时，方程有两个不同的实数解；

当时，方程有两个不同的实数解；

当时，方程无实数解.

3.一元二次方程的根与系数的关系

设是一元二次方程的两根，则，

一元二次方程的根与系数的关系—韦达定理：.

[分析]

这些内容在教材上已经有所体现，而且学生在初中就已经学习过，已经掌握这些概念，所以无需重提。　

练习选讲

一、填空题

1、判断方程的根的情况___两解____

2. 已知x1、x2是方程4x2－7x＋m＝0的两实数根，且x1＝，m=__3__

3、一元二次方程有两个不相等的实数根则k的取值范围是______

4、若方程的两根之差为1则k的值是__9或-3___

[分析]

4道填空都考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。有些重复。可以舍去第1，2小题。其中第3题，教师在讲解之后将问题转化为“方程有两个不相等的实数根”让学生回答是否有区别？在转化为“方程有实数根”再让学生回答。这样学生从一道简单的例题中明白了解带参数的方程是如何分类讨论的。而第4题，教师用意很好，但在题目的数字上是否可以改动。最好通过中求得的两解，其中有一解由于不满足。而本题没有凑好，学社容易混过去。

二、简答题解析：令，则，令，则，所以三角形的面积为，

5、已知关于的一元二次方程根据下列条件，分别求出k的范围①方程有两个不相等的实数根②方程有两个相等的实数根③方程没有实数根

[分析]

本题是训练学生利用判别式的能力。用意很好，是否可讲题直接改成解方程。我们的学生已应该掌握这方面的能了，不需要老师在引导了。

6、已知关于X的方程的一元二次方程

(1)求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根

(2)若方程两根为且满足求m的值

解：（1）

（2）。

[分析]

本题和上面的填空题以重复。意义不大。

7、若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围？

[分析]

本题和第5题有重复。教师可将它改编为根的分布问题。

例如：

变式：若关于x的一元二次方程有异号的根，则m的取值范围？

[分析]教师可以利用图像来解。同时利用不等式组教师可以提一下为什么这里无需写？

8、设二次函数，方程的两根和满足．求实数的取值范围；

（解：与轴有两个交点问题。

由图象可知）

[分析]

这道题将函数和方程很好的结合起来。利用了二次函数的解析式，图像，性质，使问题轻松解决。很好的体现了三个“二次”之间的联系。同时又对学生提出了掌握二次函数的的要求。选的很好。

六、二元二次方程组

练习选讲

一、填空题

1、方程组的解是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　；

2、方程组的解是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ；

3、如果方程组有一个实数解，那么m的值是　　　　　　　　　　　　　 ；　

[分析]

由于高中对二元二次方程的要求是在能计算的基础是适当提升，不涉及复杂运算。同时，我们的学生是刚刚步入高中的新学生，所以不可能将高三《圆锥曲线》的内容作为现学内容加以要求。同时，更不要求学生能利用圆锥曲线图像来解二元二次方程。所以，该教师用了这三道题还是比较恰当的。这几道题虽简单，但分别考查了直线与不同曲线之间的关系。第一题是直线和抛物线的交点。第二题是直线与双曲线的交点。第3题是平行直线系和已知椭圆之间的交点关系。在讲解过程中，教师可以适当加入曲线概念。

二、简答题

4、解方程组

（1）　　　　　　　　　 （2）

[分析]

本题教师旨在考查训练学生“代入法”“因式分解法”的掌握。意义不大，和题1、2重复。

5、 若方程组有实数解，求b的取值范围17．[－5, 5]

[分析]

本题看似是一道解二元二次方程的题。利用“代入法”得到关于的二次方程。再利用判别式来求的范围。教师在讲完利这个方法后，应将问题转化为动直线和圆之间的有交点问题。利用图像，直线和圆的位置关系。我们的学生已经有这样的理解水平，所以，一般的学生都可以领会。

七、列方程不等式（组）解应用题

练习选讲

1、(2003大连)某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________；

[分析]

这是一道关于增长率问题的中考题，虽然简单，而且大多数学生都已掌握，但在这里重现还是有必要的。因为增长率在数列应用题中随处可见，学生往往搞不清年数。在这里，通过一个简单的二次方程为以后的学习埋下伏笔。

不妨可以加上另一种形式：

例如：国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨，按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8%）.为了减轻农户的负担，制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量增加2x个百分点。试确定x的范围，使降低税率后，国家的总收入不低以原计划的78%.

解：由题意得降低税率后，国家的总收入为；令解得。

[分析]

这道题也是一道增长率的问题。但是和练习1不同时的是将问题转化为一个一元二次不等式。做了很好的提升。为即将学习的不等式应用题做好准备。

2、(2004武汉)一路段的道路维修工程准备对外招标，现有甲、乙两个工程队竞标，竞标资料显示：若两队合作6天可完成，共需工程费10200元；若甲单独完成，甲队比乙队少用5天，但甲队的工程费每天比乙队多300元.

(1)甲单独完成需要几天？

(2)工程指挥部决定从两个队中选一个队单独完成此工程，若从节省资金的角度考虑，应选哪个工程队？为什么？

解：（1）设甲乙的速度分别为；由题可得方程组解得因此甲单独完成需要10天。（2）设甲每天所需费用为，则乙每天所需费用为，由题意解得。因此甲单独完成需要1000=10000元，乙单独完成需要元，应选甲工程队。

[分析]

此题是一道关于工程问题的分式方程组。从内容上，有些重复。所以必要性不大。

3、2010年上海将举办世博会，为此市政府提出：“加快轨道交通建设，让城市更畅通”。去年第三季度某工程队承担了铺设一段3千米长的地铁轨道的光荣任务，铺设了600米后，

该工程队改进技术，每天比原来多铺设10米，结果共用了80天完成任务．试问：该工程队改进技术后每天铺设轨道多少米？

解：设该工程队改进技术后每天铺设轨道（）米，由题意解得米。因此该工程队改进技术后每天铺设轨道40米。

[分析]

这是一道分式方程应用题，同样，教师不能花大量的精力在复习上。不妨将问题改编为不等式。

4、通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f(t)表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f(t)越大，表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：

（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？

（3）讲课开始后学生有多少时间注意力保持在180以上？

解：（1）当时；当时；当时。因此讲课开始后10分钟，学生的注意力最集中。能持续10分钟。

（2）讲课开始后25分钟学生的注意力更集中。

（3）令解得，因此讲课开始后学生有约25分钟注意力保持在180以上。

[分析]

这是一道函数应用题的高考题，表面上和方程（不等式）应用题扯不上关系。但是本题分成了三个小问，有效地将函数与不等式有机的结合在一起。同时，这个函数是分段函数。锻炼了学生分类讨论的能力。

[小结]

这位教师在把握“衔接”上做的还是不错的。他在作业中选择了一些具有代表性的高考题，例如“方程与不等式”的第5题，第7题，“应用题“的第4题等，都比较好。“只是有时会出现“什么都要讲，什么都重要”的情况。要知道，我们的学生已经参加过中考。因此对初中的大部分已熟知。教师只需适当的进行复习，无需再重新推导公式，定理等。因而，在教学中应该选择一些知识点丰富的，带有高中重要思想方法的题型。例如，在代数式中可以适当加入写数列通项公式的习题。在方程与不等式中加上利用“数形结合”的练习等。同时，在讲解方面，希望教师能从多角度，多方面出发。尽量选择和高中教材内容相匹配的思

想方法来讲解，能更好的起到“衔接“的作用。

学员：李大林

数学——初高中衔接

环节二　　 函数与分析（一）作业

本次作业内容包括：正反比例函数、一次函数、二次函数

一、正反比例函数

知识要点

（1）函数

如果在某个变化过程中有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的值和它对应，那么就是的函数，记为。叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，和的值相对应的的值叫做函数值，的取值范围叫做函数的值域。

我们可以用解析式、图像和列表的方法描述函数。例如：某市出租车计价方案是：起步费3公里11元，3公里至10公里之内为超1公里2.1元，超过10公里按每公里3.1计算，则车费（元）与行车里程（千米）之间的关系式可表示为：

，即

车费（元）与行车里程（千米）之间的图像关系式可表示为：

出租车行驶里程数分别为2.2、3.1、6、9.6、11千米时，相应的车费可以如下表示：

[分析]

本部分内容简单介绍了函数的基本概念。函数是一个抽象的概念，初中所学习的函数以具体函数为依托，结合具体函数的解析式和图像考查函数性质。高中数学则是将函数的基本概念抽象化，用集合的语言来叙述，对于刚刚毕业的初中生高中函数将会是一幅崭新的面容，所以这部分内容是非常有必要的，它拉近了初高中函数学习的距离。

（2）正比例函数和反比例函数

[分析]

在初步了解了函数的基本概念之后，还是要回归已掌握的知识，并结合高中要求对其进行推广、加深。对于已经非常熟悉初中数学的学生而言，以表格的形式罗列正反比例函数的基本概念，既简洁又清楚，不会使学生感觉厌烦。

练习选讲

1．下列图像中可以作为函数的图像的序号是____________________

[分析]

本题帮助我们理解函数的基本概念，区分哪些是函数图形，那些不是函数图形。但是教材里缺少对函数图像深入剖析，所以作本题时会觉得有些困难，不知从哪个方向入手。

2．已知（1）；（2）；（3）；（4）；（5），在下图中寻找相应的函数图像。

[分析]

本题帮助学生从图像的角度上区分正反比例函数、一次函数、二次函数。对于初中基本功扎实的同学而言，本题建议删去。

3．表3-3中，与成反比例，试求出表中的值

4．若与成正比例，且当时；当时，求与之间的函数关系式。

[分析]

3、4两题帮助我们复习正反比例函数的基本概念，对于已经熟练掌握初中函数知识的学生而言，这两道题显得价值不大，建议删去。

总的来说，正反比例函数对于习题的设置与高中学习的关系不明显，建议重新修改。

二、一次例函数

函数称为一次函数。特别，当时，是正比例函数。一次函数有如下的性质特点：

[分析]

正如上一节一样，以表格的形式展示一次函数的概念，帮助大家回顾基本概念。此外，一次函数在高中数学里也很重要，所以有必要在初高中衔接教材中对这部分内容首先加以阐述。

（2）两直线的位置关系

　　 一次函数所表示图像是直线，平面内两条直线的位置关系有相交、平行与重合。已知两直线和所在的直线方程分别是和，则：

（1）如果，那么和相交；

（2）如果且，那么和平行；

（3）如果且，那么和重合；

特别，如果，那么和垂直。

[分析]

一次函数的图像是直线，两直线的位置关系有平行、相交、重合，它们是高中解析几何的基础知识，所以将两直线的位置关系放在初高中衔接教材中介绍，可以使我们对高中解析几何有初步的认识。

但是两直线的位置关系的判断方法不止一种，本教材中仅介绍了利用斜率和截距的方法，它们并不是等价命题，需要我们理解。并且为高中进一步学习打下基础。

练习选讲

一、填空题

1．已知函数，若函数图像经过原点，则=___________；若这个函数是一次函数，且随着的增大而减小，则的取值范围___________.

2．当水池抽水的速度一定，水池中水量是抽水时间的一次函数，设水池中原有水量为，则关于的函数是___________________

[分析]

1、2两题考查一次函数的基本知识，求解一次函数的解析式。目的在于复习初中数学基本概念，为接下来的练习题作铺垫。

3．已知是的一个内角，是一次函数，则=_____

[分析]

三角函数时高中的重要内容，初中学习的是直角三角形中的正弦、余弦和正切，本题文的是任意三角形中的三角比，学生们可能有所疑惑，所以，我们感觉此题放在这里不合适。

4．（1）已知点与轴正半轴成角，则=_____，=_____,=____

（2）已知直线与轴正半轴成角，则=_____，=_____,=_____

（3）已知直线与轴正半轴成角，则=____，=_____,=_____

[分析]

倾斜角是高中解析几何直线的基本内容，但是初中并没有学习直线的倾斜角，所以本题以语言的形式叙述倾斜角，求解倾斜角的三角比的值。与上题类似的，由于初中数学学习的是直角三角形中的三角比，衔接教材中又没有学习倾斜角，所以我们觉得本题放在这里不合适。

二、选择题

5．下列不是一次函数的是（　　　　　　　 ）、

（A）　 （B）　　　 （C）　　 （D）

6．已知一次函数与的图像在轴上交于同一点，则的值是（）

（A）4　　　　　　　　　　　 （B）　　　　　　　　　 （C）2　　　　　　　　　　　　　 （D）

7．一次函数中，，且随的增大而减小，则它的图像大致为（）

[分析]

5、6、7三题帮助我们复习一次函数表达形式和函数图像，这些知识在高中学习中也有所涉及，所以上述三题放在衔接教材里是合适的。

三、解答题

8．已知一次函数的图像过点，与正比例函数的图像相交于点，求（1）的值；（2）的值；（3）这两个函数图像与轴为成的三角形面积。

[分析]

本题不仅复习了一次函数的解析式，还结合图像研究几何问题，这也是高中数学的常规问题，除此之外，本题还体现了数形结合的思想，这是高考的重点考查方法。

9．某公司到果园基地购买某种优质水果慰问医务工作者。果园基地购买量在3000千克以上（含3000千克）有两种销售方案。甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回。已知从基地到公司的运输费为5000元。

（1）分别写出该公司两种购买方案的付款（元）与所购买水果量（千克）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）当购买量在什么范围时，选哪种购买方案付款最少？并说明理由。

[分析]

本题是函数性应用题，是高考的必考问题，放在这里既是对初中数学的复习巩固，又为高中学习做好衔接。

三、二次函数

教材分析

一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数。二次函数的解析式可以用以下三种形式描述：

（1）一般式 是常数，；

（2）顶点式 ，其中顶点

（3）两点式 ，其中是方程的两个根，当二次函数的图像与轴有两个交点时，就可以令解析式为此。

上述三种形式在一定条件下可以互相转换，综合使用。

二次函数的图像是抛物线，它具备以下的基本性质：

（1）当时，抛物线开口向上，越大开口越小；当时,抛物线开口向下，越大开口越小；

（2）一元二次函数是常数，的图像与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程是常数，的根的判别式判定：有两个交点抛物线与轴相交；有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切；没有交点抛物线与轴相离；

（3）二次函数是常数，的图像关于直线对称，直线是图像的对称轴；

（4）对于二次函数是常数，，当时，在时随的增大而减小，在时随的增大而增大；当时，在时随的增大而增大，在时随的增大而减小；

（5）二次函数是常数，的定义域是一切实数时，如果，则存在最小值；如果，则存在最大值。

[分析]

复习初中二次函数的基本性质，为解下来的例题与练习作铺垫。

练习选讲

一、填空题

1．若函数是正比例函数，则=________；是二次函数，则=________

2．抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为　　　　　

3．已知二次函数的图像过原点，则此函数的顶点坐标是______

4．如果关于的函数的图像与轴没有交点，则的范围_

[分析]

上述四题针对函数的基本概念求解析式，是中学的基本知识，设置在此处其道复习巩固的作用。其中第4题，又体现了函数与方程以及数形结合的数学思想，值得我们注意。

*5．已知二次函数满足，则比较大小____

[分析]

本题考查二次函数对称轴的问题，以的形式出题，对于我们初中

刚毕业的学生而言，题目新颖，同时，它也是高中数学的重要内容，我们应该仔细思考。

二、选择题

7．二次函数的图象如图3-7所示，

则下列结论正确的是（　　）

A．a＞0，b＜0，c＞0　　　　 B．a＜0，b＜0，c＞0

C．a＜0，b＞0，c＜0　　　　 D．a＜0，b＞0，c＞0　　　　　　　　　　　　

8．如图3-8，已知中，BC=8，BC上的高，D

为BC上一点，，交AB于点E，交AC于点F（EF

不过A、B），设E到BC的距离为，则的面积关于的函数的图象大致为（ 　　 　）

[分析]

7、8两题主要考查函数的图像，是对初中数学的复习，同时图形问题在高中也是常见题，所以本题的设置为高中学习打下了铺垫。

三、解答题

9．有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,,．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）画出这个二次函数的图像，并根据图像写出当输出值为正数时输入值的取值范围.

[分析]

本题是考查二次函数的解析式，对于初中基本功扎实的学生而言，本题略显单薄，可以删去。

*10．已知，当时，恒成立，求的取值范

围

*11．已知函数

（1）当时，求函数的最大值与最小值。

（2）求实数的取值范围，当时，函数的值随着的增大而增大。

[分析]

10、11题时高考重点、难点问题，同时也提现这函数与方程、数形结合的思想方法我们可以通过学习衔接教材中二次函数部分，解决上述问题，为高中数学学习打下坚实的基

小结

该学员基本了解高中的教学要求，以及初高中之间在函数方面的差异，能体会初高中知识的落差，整体教学符合衔接教材要求：高中重点内容重点讲、详细讲，初中相关问题做好复习巩固

以本环节为题，二次函数是高考重点内容，也是初中数学的重点内容。初中数学侧重于函数的表达式、二次函数的图像即抛物线。高中数学除了函数的解析式、函数图像之外，还有定义域、值域、对称轴以及相应函数的基本性质，与初中相比，难度增大、灵活性加强，对应用的要求高，在设置本环节的衔接内容时，在初中的基础上，加大二次函数的深度、难度，为高中学习作好充分的准备。

一次函数在高中数学中的应用除了代数方面的要求之外，在解析几何里也比较重要。所以衔接教材里，介绍了直线位置关系的一种判断方法，为高中学习解析几何做好铺垫。

学员：张林

数学——初高中衔接

环节三　　 函数与分析（二）作业

本次作业内容包括：函数关系式的建立、函数与方程

一、函数关系式的建立

[分析]

本节没有知识点的归纳作为引入，直接出现例题，学生会觉得比较突然，没有衔接和过度，因此最好能在立体出现之前对本章节可能涉及到的函数作系统的归纳整理。

练习选讲

1．为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒. 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例，药物燃烧完后，与成反比例. 现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6毫克. 请根据题中所提供的信息，解答下列问题：

（1）药物燃烧时，关于的函数关系式为：___________________，自变量的取值范围是：______________；药物燃烧后关于的函数关系式为：_____________．

（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

[分析]

本题以03年“非典”为题材，对于“非典”，我们记忆犹新，所以我们会带着兴趣去阅读题目。应用题主要以文字叙述为主，对于学生而言，容易造成前读后忘或不解题意的，但是本题由于是发生在身边的事情，是我们所熟悉的问题，所以尽管题目比较长，我们也不难理解，进而求解问题。

2．某单位打算在长和宽分别为20m和11m的矩形大厅内修建一个面积为60m2矩形健身房ABCD，其中两面利用现成的墙壁（如图3-10），已知装修旧墙壁费用为20元/m2，新建墙壁费用为80元/m2，健身房的高为3m，其中一面旧墙的长度AB为x m，修建健身房墙壁的总费用为y元。（1）求y与x的函数关系式；（2）为了合理利用大厅，要求自变量x必须满足，当投入资金为4800元时，问利用旧墙壁的总长度是多少？

[分析]

本题完全可以利用初中平面几何知识求解，与高中知识的联系不紧密，放在初高中衔接教材中不合适。

如果再加一问：怎样设计这面就旧墙的长度x，可以使得修建健身房的墙壁总费用最少？这样修改的话，考查学生求最值得能力，也为高中学习函数的值域做好铺垫。

3．某市出租车计费方法如图3-11所示，请根据图象回答下面的问题：（1）出租车的起步价是多少元？在多少路程内只收起步价？（2）起步价里程走完之后，每行驶1km需多少车费？（3）用恰当的方式表示费用y与路程s之间的关系。（4）某外地客人坐出租车游览本市，车费为31元，试求出他乘车的里程。

4．沙尘暴发生时，风暴经过开阔荒漠时加速，经过乡镇、遇到防护林则减速，最终停止。某气象研究所观查一场沙尘暴从发生到结束的全过程，记录了风速y（km/h）

随着时间t(h)变化的图象（如图3-12）。（1）求沙尘暴的最大风速；

（2）用恰当的方法表示沙尘暴风速与时间之间的关系。

[分析]

3、4两题都考查了学生求分段函数解析式的能力，这是初中的常见题型，但是题目也渗透了分类讨论、数形结合的函数思想，这些是高中数学的重要思想也是难点，所以上课教师将其放入初高中衔接教材里，目的是希望叙生能尽早地熟悉这些问题的思考方法，明确高中学习的重点所在。

5．已知：某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出。在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备。而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元。设每套设备实际月租金为元（≥270元且是10的整数倍），月收益为元（总收益＝设备租金收入－未租出设备费用）。（1）： 求与的函数关系式；（2）： 当为何值时，月收益最大？最大值是多少？（3）： 当月租金分别为300元/每套和350元/每套时，月收益各是多少？根据月收益的计算结果，此时公司应该选择出租多少套设备更合适，请简要说明理。

[分析]

本题文字多、题目长，所叙述的问题显得缺乏新意，学生们打不起兴趣。但是细品本题，我们还是能发现：本题考查的是一元二次函数，以及通过配方法求最值的问题。一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中的重要内容，所以上课老师将本题放在衔接教材中，旨在进一步复习、强调二次函数，引起学生的重视。

6．有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m．如图3-13建立直角坐标系，

（1）求点B、D的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）现有一辆载有救援物资的货车，从甲地出发需经此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km（桥长忽略不计）货车以 40km／h的速度开往乙地；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0．25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点E时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

[分析]

本题利用抛物线的知识构建函数模型，图形并茂，体现了数形结合的思想特点。除次之外，一道能够引起我们学习兴趣的数学题，最好是图文并茂的，本题就是如此，题目的设置、排版，很好地激发了学生学习的兴趣。

从数学知识的角度分析此题，本题考查二次函数以及它的图形。在初中是重点内容，在高中也是如此，复习巩固也是为高中学习打好基础。

二、函数与方程

知识要点

定义：

1、一元一次方程 只含有一个未知数,且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程，通常形式是(为常数，不等于零）。

2、一元二次方程 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是二的整式方程叫一元二次方程，通常形式是(为常数，不等于零）。

3、二元一次方程 如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的次数是一，那么这个整式方程就叫做二元一次方程，通常形式是（是常数，不等于零）。

4、二元二次方程 如果一个方程含有两个未知数，并且未知数的最高次数是二，那么这个整式方程就叫做二元二次方程，通常形式是（是常数，不同时为零）。

与函数有必然联系的是方程，方程的解是函数的图像与轴的交点横坐标，函数也可以看作二元方程。通过方程进行

研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程（组）来求得这些就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。

[分析]

1、知识点的归纳，看似是对初中已学知识的重复，实际上，是想告诉我们本节内容所要学习的对象是什么，我们应注意哪些函数与其对应的方程之间的关系。所以，这部分内容是有必要的，我们应该仔细阅读体会。

2、在归纳完知识点后指明函数与方程之间的区别和联系。但是感觉此联系与区别的界定并不清晰，我们在阅读完文字之后，仍旧不能很透彻地体会两者之间的关系，所以这部分内容还应更加深入、细致地做阐述，或者在例题中详细体现。

练习选讲

一、填空题

1、已知函数，若，则=__________

3、已知函数，关于的方程的解是___________

[分析]

1、3两题一改初中求值和解方程问题的常见出题方式，用函数符号带领我们，使我们更早的接触到函数的抽象表示，为高中数学打下扎实的基础。

2、若成等比数列，则函数的图像与轴的公共点的个数是_______

4、若关于的方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围___________

[分析]

2、4两题都是通过画出函数图像，再利用函数图像的交点可以看作是方程的根这一特点解题。不仅体现了函数与方程的思想，也渗透了数形结合的思想方法。这两题尤其第4题，是高中数学的常见题、高考中的常规题。

5、已知抛物线的顶点坐标为，并且方程的两个实根的平方和等于12，求的值

[分析]

本题在初中数学的训练中已经能够熟练掌握了，设置在此处也就是反复再训练而矣，所以可以删去。

6、已知关于的方程恰有一个实根，求的值。

7、已知方程为实数且，试证明此方程有两实数根，其中一根大于1，另一根小于1

[分析]

6、7两题都是有关方程的根与系数之间的关系。除了根与系数的关系这一解法之外，我们还可以构造函数，利用函数图像性质求解问题，既体现了函数与方程的思想，又体现着数形结合的思想，它们都是高中数学的重点内容，所以这两题值得我们仔细研究。

*8、对于定义域是一切实数的函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点。已知函数

（1）当时，求函数的不动点

（2）若任意的实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围。

[分析]

本题是2002年上海春考22题，用方程的思想解决函数问题，放在初高中衔接教材里，偏难一些，需要我们通过学习衔接教材，从理解的角度求解本题，锻炼思维，养成良好的解题习惯，为高中学习做好铺垫。

*9、已知不等式组

（1）时，解不等式组；

（2）如果不等式组无解，求实数的取值范围。

[分析]

本题体现着方程与不等式之间的关系，意图说明方程的根与不等式的解之间的关系，这却实是高考里的重点内容，但是本节内容是函数与方程，此题放在此处似乎不合适。

小结

该学员对初高中知识掌握扎实，尤其是，对知识纵向结构有着清晰的了解，熟悉高考要求，教学的设计符合衔接要求：复习巩固初中重要知识，针对高考常见问题重点讲、详细讲。

以本环节为例，应用问题是数学与实际生活联系最紧密的一类问题，它同时也是高考数学的重点内容，每年高考都会有所考查；而函数与方程的思想是高中数学四大思想之一，函数、方程、不等式三者之间相互联系、互相转化在高中数学里是基本问题、重点问题，这一思想也是高中数学的重要思想。所以，将“函数关系式的建立”和“函数与方程”设置为本章节的内容，作为初高中的衔接练习。

学员：陈东

数学——初高中衔接

环节四　 图形与几何(1)作业

本次作业内容包括：圆的有关计算、平行线的判定与性质以及三角形的五心

一、圆的有关计算

练习选讲

一、填空题

1.在圆中，同一条弧所对的圆周角、圆心角分别为和，则这个圆心角为________。

2.如图，是圆的直径，，，则________。

3.下列图中，点是圆心，、是切点，求角的值：

（1）________； （2）________；

4.如图，圆与圆相交于、两点，它们的半径都为，圆经过点，则四边形的面积为________。

[分析]

第1、2、3题是对圆周角定理和弦切角定理的基本应用，高中阶段最常用的是直径所对的圆周角是，所以可以再增加一些相关的练习，加强学生对这条性质的理解和掌握。

第4题是一道今年的中考题，太简单，如改成求弧和弧所围成的图形的面积会更好。由于对扇形的不熟悉导致今年高考的第17题得分率并不高，所以这道题还是很有训练价值的。

二、解答题

1.如图，圆内接四边形的对角线把四个内角分成的八个角中，哪些角是相等的？

[分析]

这道题学生在初中应该都做过，放在这儿略显多余，建议删掉。

2.已知正六边形的边长为，求它的边心距和外接圆的面积。

[分析]

边心距的概念是初中所没有的，需要给出定义。这道题对于基础好的同学显得有些简单，但在学习正棱柱和圆柱的时候是需要的，所以对于基础稍差的同学还是有必要巩固一下的。

3.已知一扇形的周长为厘米，问：扇形的半径等于多少时,它的面积最大？求出这个最大值和此时圆心角的大小。

[分析]

这是一道常见的高中教学中的例题，把面积、弧长公式与函数、最值结合了起来。让学生体会到虽然知识点初中都已学过，但高中的要求提升了一个档次，要逐渐改变思维的方式适应高中的学习。

二、平行线的判定与性质

练习选讲

一、选择题和填空题

1.平面上有五条直线，若，则下面结论中正确的是（　 ）

（A）∥∥　　　　　 （B）∥∥　　　　　 （C）∥∥　　　　　 （D）∥∥

2.平面上有四条直线，无论其位置关系如何，它们的交点数不可能是（　 ）

（A）2个　　　　　　　　　　　　 （B）3个　　　　　　　　 　　　　 （C）4个　　　　　　　　　　　　 （D）5个

3.如图，已知，平分，若，，则________。

4.在同一直角坐标系内与直线和直线距离相等的直线所对应的一次函数的解析式为________。

[分析]

第1、2题可以根据初中立体几何学习的情况，改编成立体几何的问题，培养学生的空间想象能力，会更有价值。

第3题是纯粹的平面几何问题，对于高中的学习帮助不大，可以删去。

第4题是在初中知识的背景下解决高中的问题，很好。数形结合的思想在高中是很重要的。通过本题要向学生强调截距的概念，可以解释斜率的概念。

二、解答题

1.如图，已知，，求证：。

[分析]

这道题老师要逐个批改，纠正学生随意性的错误，让学生养成规范的证明书写习惯，培

养学生严谨的思维品质。

2.如图，在梯形中，，平分，，交的延长线于点，。

（1）求证：；

（2）若，，求边的长。

[分析]

这是2007年的中考题，既有几何证明又有解直角三角形，是对学生基本能力的一个检验，但无论如何，这只是一道初中题，应把它改编成更适合衔接的问题。

3.已知一次函数的图像经过点，且平行于直线，求这个函数的解析式。

[分析]

这道题与高中的学习有一定的联系，待定系数法在高中也是很重要的方法，但这道题与本单元的学习内容关联度不大。

三、三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心

知识要点

1.三角形内心的定义和性质

三角形的三个内角的角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心（即三角形内切圆的圆心）。内心在三角形的内部。内心到三角形三边的距离相等，距离的长为内切圆的半径的长。

2.三角形外心的定义和性质

三角形各边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心（即三角形外接圆的圆心）。锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。外心到三角形的三个顶点的距离相等，距离长为外接圆的半径的长。

3.三角形重心的定义和性质

三角形三边的中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心一定在三角形的内部。

4.三角形垂心的定义和性质

三角形三边上的高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。锐角三角形的垂心在三角形内部；直角三角形的垂心是直角顶点；钝角三角形的垂心在三角形的外部。

5.三角形旁心的定义和性质

三角形一个内角的角平分线与另外两个外角的角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的旁心（即旁切圆的圆心）。旁心在三角形的外部。旁心到三角形三边的距离相等，距离的长为旁切圆的半径的长。三角形的旁切圆有三个。

[分析]

三角形的内心、外心、重心、垂心和旁心在初中没有经过系统的学习，教材中没有明确的给出，不同学校的老师在教学的时候会有不少差异，学生对于这部分的知识很不完整。而高中教材却把其当作学生已经掌握的知识来处理，所以这部分知识的完整补充是很有必要的，便于立体几何及其他有关内容的学习。

教师应该让学生先通过实践的方式直接观查到三角形的有关线段是交于一点的，然后再给出定义和说明，培养学生自主研究的意识。还应该补充正三角形和等腰三角形有关“五心”的特殊性质。

练习选讲

一、填空题

1.下列说法正确的是（　 ）

（A）三角形的外心在三角形外

（B）三角形的外心到三边的距离相等

（C）三角形的外心到三个顶点的距离相等

（D）等腰三角形的外心在三角形内

2.在△中，过重心且平行于的直线交于点，那么________。

3.若三角形的垂心和重心重合，则该三角形的形状为________三角形。

[分析]

第1题是巩固概念，但只有外心，还应补充其它“心”的概念题。

第2题是重心的重要性质，需要牢牢掌握。

第3题与解答第3题重复，可以删去。

二、解答题

1.如图，圆为△的内切圆，为切点，是△三边的长，求的长。

[分析]

同样是内切圆的问题，第2题比第1题更有价值。

2.已知是△三边的长，利用海伦公式求△内切圆的半径。

海伦公式：，其中。

[分析]

衔接教材中有已知两边求直角三角形内切圆半径的问题，这道题推广到了任意三角形，提升了难度，需要学生具有割补法和等量代换的思想。海伦公式初高中都不作要求，只能作为课外的兴趣提高。

3.若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形。

[分析]

证明有一定的难度，但对学生的思维是一个很好的锻炼，要注意证明的严密性。明确正三角形三心合一的性质，很有必要。

小结

该学员还是了解初高中对于知识点和教学要求的不同，内容的选取上注意了初高中衔接的要求，教学设计的思路正确，但在部分练习的选取上不够恰当，应该再仔细斟酌加以修改。圆的有关计算中再增加一些有关扇形的练习，尤其是公式，这是学生不熟悉、比较薄弱而高中又需要的内容。平行线的判定与性质这部分的练习设计的不够好，初中的痕迹明显。平行线的性质主要是为立体几何服务的，应该注意这方面的知识的衔接，请根据专家的建议进行修改。三角形五心的相关内容补充得很到位，这部分知识初高中是脱节的，初中教学不完整，老师最多课外补充，高中要用，老师还得临时补充。尤其是旁心，初中生几乎都不知道，造成在研究三棱锥顶点在底面的射影问题时会遇到麻烦。学生普遍对于这五心的名字和概念有混淆，甚至认为三角形一定有中心，所以教师一定要把这部分知识整理清楚，不妨多出一些概念性的练习，让学生有准确的认识和深刻的记忆，到高中需要用到的时候都能回忆得起来，这样才能真正达到衔接教学的目的。

学员：李大林

数学—初高中衔接

环节五图形与几何(2)作业

本次作业内容包括：等腰三角形、直角三角形和向量

一、等腰三角形

知识要点

定义：有两边相等的三角形是等腰三角形

等腰三角形的性质：

1.等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”）

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）

3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

6.等腰三角形的判定：

有两条边相等的三角形是等腰三角形

有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）

1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。

2.三角形内角和等于180度

3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。

4.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)

[分析]

知识要点的归纳，看似完整，其实学生很厌烦，因为，对于已学过的知识，再重新整理，没有新意，建议删去这部分内容。

练习选讲

一、填空题

1.一个等腰三角形可以是　　　　　 三角形，　　　　　 三角形，　　　　　 角三角形.

2.一个等腰三角形底边上的　　　　　　　 、　　　　　　　 和顶角的　　　　　　 互相重合.

3.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　　　　　　 .

4.三角形一个角的平分线垂直于对边，那么，这个三角形是　　　　　　　 .

5.等边三角形两条中线相交所成的钝角的度数为　　　　　　　 .

二、选择题

1.如图，已知∠ABC=∠C=72°，BD是△ABC的平分线，那么图中等腰三角形有（　　 ）.

　（A）1个　　　　 （B）2个　　 （C）3个　　　 （D）4个

2.等腰三角形的两边长分别为8cm和6cm，那么它的周长为（　　 ）.

（A）20cm　　　 （B）22cm　　　 （C）20cm或22cm　　　 （D）都不对

4.如图，已知AB=AC，DE分别为AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形对数有（　　 ）.

（A）4对　 （B）5对　　　　 （C）6对　　　 （D）7对

5.等腰三角形一底角的余角等于（　　 ）.

（A）顶角　　　　　　　　　　　　　 （B）顶角的2倍

（C）底边高与一腰所成的角　　 （D）一腰上的高与另一腰所成的角

[分析]

以上选择填空题，上课教师还是受到全面复习思想的指导，把初中的试题又重新让学生做一遍，其实，这里的许多试题没有必要，但是，个别试题如果精心改编，会成为一个很好的衔接练习题。

如填空题第5题改为：已知等腰三角形一底角的度数为x，顶角的度数为y,写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围。

这样的改编，既复习了等腰三角形的有关知识，还为将来学习函数关系式的建立打下了基础，同时学生也会感到试题新颖，学有兴趣。

三、计算、证明题

1、如图，测量人员在山脚处A测得山顶P的仰角是450，沿着倾斜角为300的斜坡前进1000米，到达B处，再测得山顶的仰角为600，求山高PQ。

[分析]

三角应用型试题，解法简单，关键是对“仰角”概念的理解。本题不严密，需要说明A、B、P三点所在的平面垂直于水平面，而此时的学生尚未理解这些概念，如果学生想当然地按照平面ABP垂直于水平面来做，对学生未来的学习造成不严谨的印象。

2.如图，点C为线段AB上一点，△ACM， △CBN是等边三角形，直线AN，MC交于点F。

(1)求证：AN=BM；

(2)求证： △CEF为等边三角形；

(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）　　　　　　　　　　　

证明：

[分析]

这是一道传统的平面几何题，大部分好学生都已做过，并且，这种类型的题目对高中继续学习意义不大，从衔接的角度看，建议删去此题，设计出几何与三角、函数、向量等内容结合的新颖题目。

二、直角三角形

练习选讲

一、填空选择题

1．已知1和2，请你写出一个数恰好是一个直角三角形的三边长，这个数是_____.

2．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于　　　　　　　 ．

3．已知三条线段的长度比为，那么这三条线段　（　）　

A.能组成锐角三角形　B.不能组成三角形　C.能组成直角三角形　D.能组成钝角三角形

4.如图，已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB，作法的合理顺序是

①作射线OC

②在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE

③分别以D、E为圆心，大于　DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C　（　）

A　①②③　　B　②①③　　C　②③①　　D　③②①

[分析]

这4道小题选择都很好，

第1题虽然简单，但是，体现了分类思想。

第2题是2004年北京市高考题的改编，具有教育意义，也考查了从图形语言向数学的符号语言转化的能力。

第3题为余弦定理的学习作了铺垫。

第4题作图是一项基本技能，学生的作图能力与高中的教学要求还有较大距离。

二、解答题

5.（2006年高考上海卷）如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？

简解：过C作AB的垂线于D，在Rt△ADC和Rt△ABC中容易求得sin∠ACB=,

∵∠ACB<90°　　　　　　　 ∴∠ACB=41°

∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.

[分析]

将高考题改编为衔接训练题，是我们研究的方向，这位学员将原题拿来，用直角三角形知识给予解答，说明这位学员掌握了

初高中的教学体系，同时对学生也是很好的鼓励，在没有上高中的情况下，完成了高考题解答，能增强学好高中数学的信心。

6. 如图所示，某船向正东方向航行，在A处望见某岛C在北偏东60°方向，前进6海里到B点，测得该岛在北偏东30°方向。已知该岛周围6海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由。（参考数据：）

解：作CD⊥AB，垂足为D。

由题意可知：∠CAB=30°，∠CBD=60°∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=30°

∴BC=AB=6

在Rt△BCD中，

∴该船继续向东航行，有触礁危险。

[分析]

本题与上题雷同，建议删去，在直角三角形中，有许多问题可以为高中三角比知识作铺垫，也可以设计一道综合题或研究性的问题。

三、向量

衔接练习

一、选择题

1．（2006年上海高考卷）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是[答]（　 C　 ）

（A）＝；　　　 （B）＋＝；

（C）－＝； （D）＋＝．

解：由向量定义易得， （C）选项错误；；

2.（2008年湖南高考卷第5题）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（　 A ）

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

3.（2008年湖南高考卷第7题）设D-、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，则与(　　 A　 )

A.反向平行　　　 B.同向平行　　　 C.互相垂直　　　 D.既不平行也不垂直　

4．（2005福建高考卷文第14题）在△ABC中，∠A=90°，的值是　　　　　　 .　　

5.（2008安徽卷3）在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则（　 B　 ）

A． （－2，－4）　　 B．（－3，－5）　 C．（3，5）　　　 D．（2，4）

[分析]

这位学员，从近几年的高考卷中选择试题作为衔接训练，思路很好。

第1 题，用初中的知识容易解答。

第2题，虽然大部分学生可以完成解答，但是，对于高一新生有一定的难度，具有打挑战性。

第3题，估计大部分学生难于完成本题的解答，但是，作为思考题供优秀学生选做是一道好题。

第4，5 题，由于衔接教材介绍了用坐标表示向量，这两题可以检测学生对概念的理解，选择这两题作为衔接训练合适。

二、解答题

6．ABCD是梯形，AB∥CD，且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点，已知＝，＝,试用、表示。

解：

[分析]

这是一道好题，既复习了初中知识，也为高中学习向量打下了基础。

7．已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且，，求M，N的坐标和.

解：　　　　 ∵ A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，　 ∴ ＝(1，8)，＝(6，3)，

∴　　 ＝3(1，8)＝(3，24)， ＝2(6，3)＝(12，6)，

设M(x，y)，则＝(x+3，y+4)， 因此，得.

　　　　　　　　　 ∴ M(0，20).　 同理可得N(9，2)，∴ ＝(9-0，2-20)＝(9，-18)

[分析]

学生理解了向量坐标表示的加减法运算后，应该很容易完成。向量与其它知识的结合练习，让学生提前了解，向量作为一种工具在许多数学分支上都有应用。

小结：

通过前5个环节的学习，大部分学员初步理解了衔接教学的意义和作用，基本了解了初高中的教学要求，以及知识落差。分析反馈作业，整体教学设计符合衔接要求，整体看，后面3讲的作业比前两个单元要好一些，希望学员根据教学实际和专家的分析作调整和修改，完善衔接教学。