数学-初高中衔接问题

在进入本课程之前，相信你已经完成了课前思考和讨论的问题，因为，我们每一讲都是在思考和讨论的基础上展开。

第一部分　初中课程标准解读

本部分内容包括：圆的有关计算、平行线的判定与性质以及三角形的五心

一、圆的有关计算

在小学直观认识圆的基础上，学习圆的有关概念及其周长和面积的计算；再从整体到部分，研究圆弧与扇形。利用圆同时具有轴对称和中心对称的性质，探索圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，再证明有关结论。

通过操作活动，对圆的周长和面积、弧长与扇形面积等计算公式形成猜想或进行验证；会用公式进行简单度量问题的计算；体会近似与精确的数学思想，了解数学实验的研究方法。掌握有关的概念以及它们之间的关系；发展探索和发现能力，体会事物之间相互依存、相互制约的联系观点和等价转换思想。

▲在角与圆的位置关系讨论中，通过图形运动认识圆外角、圆内角、圆周角、弦切角；理解圆周角的概念，初步掌握圆周角定理及其推论；知道弦切角及其性质定理，进一步认识分类讨论的思想方法。

初中对于圆周角的教学是很不充分的，但这部分知识在高中阶段是必需的，尤其是在解析几何与立体几何的学习过程中是需要灵活应用的。弧长是三角比学习的前奏，是引入弧度制所必备的。知道了扇形面积公式

才能更好的掌握圆锥的侧面积公式。

二、平行线的判定与性质

用实验归纳、操作确认的方法，得到平行线的判定及有关性质。进行说理和表达的基本训练，初步感知形式推理的规则和过程。

关于平行线的判定和性质定理的运用，涉及的问题是比较简单的，可以采用“填空”的方式进行说理，渗透“三段论”的推理形式。要严格控制论证的难度，注重于学习演绎推理的思想和方法。

平行是几何中最基本的性质，在高中立体几何的学习中，线面、面面平行的相关性质都是由线线平行得来的，而且还要利用平行来解决异面直线成角的问题。

三、三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心

理解三角形的高、中线、角平分线等概念，并会画这些特殊线段。知道三角形的三条中线交于一点、三条角平分线交于一点、三条高所在直线交于一点。

通过自主探索，知道由三角形主要线段所得交点的位置状况。这里只要求知道事实，其证明在论证几何中进行；交点名称在有关证明以后给出。

三角形的五心在初中并没有进行过系统的学习，甚至有些心连名称都没有给出，学生更不知道其相关的性质。在三棱锥的学习中，根据相关条件确定顶点在底面的射影需要用到这些心的性质。在定比分点的学习中，还会根据重心的性质得到三角形重心的坐标公式。所以这部分知识的完整补充是很有必要的。

第二部分　教学案例剖析

案例一　圆的有关计算的教学设计片段

1.本例是圆周角定理的证明，并得出其两条推论，要求学生掌握相关结论。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第87页）

2.本例的证明渗透了分类讨论的思想，通过边栏的提示问题引起学生对分类讨论思想的注意和思考。

3.分类讨论思想将贯穿整个高中数学学习的始终。本例不仅为高中学习补齐了圆周角定理及其推论，而且为高中数学思想的渗透作了很好的铺垫。

1.本例是圆周角定理的直接应用，要求学生掌握相关结论。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第88页）

2.通过对圆的内接四边形的性质定理的证明，让学生对圆周角定理有一个直观的认识，知道它的使用方法，为以后高中阶段使用这一定理做好铺垫。

3.利用圆的内接四边形的性质定理巩固逆定理的概念，为高一命题的学习再做铺垫。

1.本题给出了弦切角的概念和弦切角定理，证明中应用了圆周角定理及其推论，是对所学知识的有效巩固和适当的延伸。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第88页）

2.本题要求熟悉平面几何的基本概念和定理，体现了平面几何中等价转换的思想。

1.本题是立体几何中一道常见的例题。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第88页）

2.初中已经初步建立了一定的空间观念，本题从更高的层次让学生体会线面垂直。

3.了解两个平面也能成角，引起学习立体几何的兴趣。

4.知道平面几何的定理是要为立体几何服务的。

1.这些公式在高中都是很常用的，需要牢固掌握，不可遗忘。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第89页）

2.初中没有给出扇形面积公式

，高中是在学习三角比之前才引入这个公式的。“引进弧度制后，使扇形的面积公式和圆的弧长公式显得简单了”（摘自高中数学课本一年级第二学期第34页），预先的学习将加深学生对这一公式的理解和记忆，并更轻松的接受高中相关知识的学习。

3.由于学生对于扇形的不熟悉，导致2008年高考的第17题的得分率并不高，在此做强调补充是很有必要的。

1.本题是平面几何的一道应用题，会用公式和计算器进行简单度量问题的计算。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第89页）

2.体会近似与精确的数学思想，及其在实际问题中的应用。

圆周角及其性质在高中的学习中是必需的，而在初中圆的相关学习中没有涉及，所以要进行补充。在圆周角定理的证明中体现了分类讨论的思想，让学生对这一重要的思想方法有一个初步的接触。利用圆的内接四边形的性质定理巩固逆定理的概念，为高一命题的学习再做铺垫，并设计了立体几何背景下的定理应用。圆的弧长和面积公式是需要牢牢记住的，初中主要还是以简单的计算为主，而高中需要能灵活的应用并解决实际问题，设计了两道练习，一题是方程的想法，一题是实际的应用。

案例二　平行线的判定与性质的教学设计片段

1.将平行线的判定与性质重新归纳整理，加深学生对其的印象，便于学生的查阅。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第90页）

2.高中将进行立体几何与解析几何的学习，平行线的判定与性质依然具有重要的价值，能够帮助解决线面平行、面面平行、异面直线成角等问题。

1.本例是平行线有关定理的基本应用，要求熟练掌握“三段论”的推理形式。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第90页）

2.学习演绎证明是提高逻辑思维能力的有效途径，能增强思维的严密性，对高中数学的学习有很大的帮助。

1.本例是平行线性质和判定的综合运用。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第90页）

2.证明应用到了前一小节刚学习的弦切角定理、圆周角定理和圆内接四边形的有关性质，对于这部分知识的强化和巩固起到了很好的作用。

3.知识的前后呼应能加深学生的理解，使得学生在高中学习中再次用到这些定理会倍感亲切和熟悉。

1.本题要求学生改写文字命题并自己作图，然后进行演绎证明。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第91页）

2.要学会如何用数学的符号语言来表达数学的概念。

平行线的性质在平面几何、立体几何和解析几何中都有重要价值，是基本的几何性质。初一学习有关平行线的性质时涉及的问题是比较简单的，教材上主要采用“填空”的方式进行说理，渗透“三段论”的推理形式。衔接教材把有关性质做系统的整理，提升了应用的难度，并强调严格的证明，要求掌握基本的证明方法。锻炼思维的严密性和条理性，提升思维的品质，为高中阶段培养学生的逻辑思维打好基础。

案例三　三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心的教学设计片段

1.将三角形五心的概念和相关的性质作完整的阐述，让学生留下完整明确的印象。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第92页）

2.初中对这部分内容的教学是很薄弱的，不完整、不明确。而高中教材却把其当作学生已经掌握的知识来处理，所以需要补充完整，便于立体几何及其他有关内容的学习。

1.本例是在明确三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心的定义以后，学习三角形重心的性质。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第92页）

2.要熟悉几何的基本定理、基本图形，学会构造基本图形的方法。

3.根据三角形重心的性质和定比分点公式，高中将会学习重心的坐标公式。

1.本题应用了圆周角定理的推论，与前面所学的知识相呼应。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第93页）

2.本题的结论重要，在高中的学习中会多次出现，如立体几何、解析几何、向量。

三角形的五心在初中教材中没有明确的给出，不同学校的老师在教学的时候会有不少差异，学生对于这部分的知识很不完整。在立体几何的问题中，根据相关条件确定顶点在底面的射影是很基本的问题，对于三角形的五心必须要有清楚的认识。在定比分点的学习中，还会根据重心的性质得到三角形重心的坐标公式。所以这部分知识的完整补充是很有必要的。

衔接教学要有利于学生积极主动的学习，例题和习题要体现基础性、发展性和层次性，起到巩固基础、促进应用、激发情感、启迪智慧的功能，引导学习方式的完善。衔接教材的内容符合课程标准，面向高中继续学习。让学生知道初中哪些知识是高中学习所必须熟练掌握的，需要预先做铺垫。

初中平面几何，保持从直观经验几何、实验几何到推理几何分阶段推进的格局，采用演绎推理与非演绎推理相结合的处理方式。要求认识平面的基本图形，理解基本的几何变换，会画简单的平面图形，掌握简单平面图形的基本性质和有关距离、长度、角度、面积的计算方法。

根据《中学数学课程标准》的要求，衔接教材对相关内容做了归纳巩固和补充提高。例如有关圆的长度和面积的公式的运用以及平行线的判定与性质的运用。部分内容是没有学习过或者学生不熟悉而高中必需掌握的。例如圆周角、弦切角、圆内接四边形的性质以及三角形的内心、外心、重心、垂心、旁心的定义和性质。

初中生学习往往停留在知识的表面，不进行深入的研究，因而只是知其然，不知其所以然。例如初中课程标准中有如下说明：知道由三角形主要线段所得交点的位置状况，这里只要求知道事实。教材中对这些点的性质没有进行研究，甚至有些点的名称都没有给出。高中明确要求学生能对所学的各类知识进行综合应用，使认知层次从知道“是什么”“为什么”上升到了“怎么样”，要求学生不仅能够学会而且要会学。

初中数学的思维方法更趋向于形象和直观，而高中数学的思维方法更趋向于抽象和理性，对数学思想、数学方法的要求较高。高中数学主要有四种数学思想，即：函数方程思想、等价转化思想、数形结合思想和分类讨论思想。在这三节内容中函数方程思想、等价转化思想和分类讨论思想都有渗透和体现。再结合本衔接教材其他单元的学习，能够使学生在起始阶段就能对高中数学的思想方法和学习方式有直观的体验，顺利的从初中过渡到高中。