数学-初高中衔接问题

在进入本课程之前，相信你已经完成了课前思考和讨论的问题，因为，我们每一讲都是在思考和讨论的基础上展开。

第一部分　初中课程标准

本部分内容包括：函数关系式的建立、函数与方程

一、函数关系式的建立

通过解决具有实际背景的简单问题，领会分析变量和建立函数关系的思考方法。体验函数模型建立的一般过程，加深对事物运动变化和相互联系的认识，初步会用函数的观点去观查和分析一些自然现象和社会现象。初中数学要求学生能运用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数解决某些实际问题。

高中数学，“函数关系式的建立”的重要性是显而易见的，每年高考都会将应用题编入考试范围。高中应用题不仅仅停留在设、列、求、答的层面，它更多地考查学生的综合能力，考查各章节知识横向联系。

二、函数与方程

▲体会函数与方程的区别和联系。

▲能运用函数的观点解释方程问题，也能利用方程的观点解释函数问题。

函数与方程是高中数学四大思想之一，在高考中占有重要的地位。函数与方程的思想在初中数学中主要体现在一次函数与一次方程以及一次不等式，二次函数与二次方程和二次不等式之间的互相转化关系。高中数学则会涉及更多的内容，除了一次、二次函数外，幂指对函数、三角函数等等都会在两者之间不断转换思想。

第二部分　教学案例剖析

案例一　函数关系式的建立

1、应用题是数学与实际生活结合最紧密的一类问题，无论是高中还是初中，应用题都是重点学习内容。应用题的关键在于审题，本章主要讲述函数形应用题，需要学生利用所学的函数知识分析实际问题，从实际问题中抽象出几何模型，列方程解决问题，考查学生读题、解题的能力。不仅在初中是重点内容，高中学习里也是重点难点。

2、求解应用题的关键在“将自然语言”翻译成数学的符号语言，也就是在理解题意后列方程解应用题，而列方程的过程我们也称之为建立数学模型。

本例考查反比例函数的应用，建立数学模型求得电价。这一过程，考查学生分析问题解决问题的能力，为高中学习建模思想打下基础。

1、一次函数是中学数学的重要内容，不仅在函数的概念、性质、图像中有着较高的要求，在实际问题中也有着不可替代的地位。本题以一次函数为基础，构建合理模型，分析实际问题。

2、本例还考查分段函数，通过对情境的合理分析，建立函数关系式。此外，分段函数书写的规范性也应值得我们重视，课堂教学实践表明，我们除了应培养学生解题能力之外，还应重视书写的规范性，这也是数学严谨性的要求。

3、高中数学所构建的数学模型较初中而言相对复杂很多，对选择函数的要求也较高，往往不同类型的函数会出现在一道题中，因此应注意培养学生分析问题、解决问题的能力。

本题考查构造二次函数模型解决实际问题，除此之外，还考查了求二次函数最大值、最小值的基本方法。

1、常见的应用题主要有函数型应用题、数列型应用题、几何型应用题等。本例是几何型应用题，考查学生读题、辩图的能力，以及相关的几何知识。

2、高中数学从多角度考查学生建立函数关系式的能力，本题是2004年上海理科18题。类似的问题还有2008年上海理科17题。

利用几何性质求解实际问题是本题考查的目的。此类问题在高中数学中也是常见问题，2004年上海理科18题考查的就是几何型应用题。

本题是出租车计费问题，与衔接教材3.1中的引例相呼应，是引例的推广与延伸。此外，高中数学教材（试用本）第三章《函数》也是以出租车计费问题作为引入，学习函数的基本性质。所以，衔接教材中设置本题也是为高中函数学习作铺垫。

抛物线型应用题是高中数学常见的一类实际问题。本题通过建立抛物线形模型，考查学生的观查、分析、解决问题的能力。同时抛物线型问题、能否安全通过隧道、桥洞等问题在高考中也屡有出现，例如：2006年上海春考20题，2003年上海理科20题。

二期课改提倡“以学生发展为本”，培养学生“用数学”的能力是数学教育的根本任务。用数学的能力是一种综合能力，它离不开数学运算、数学推理、空间想象等基本的数学能力，注重双基能力的培养是解决学生应用意识不可缺少的武器。培养学生分析问题和解决问题的能力，把应用问题的渗透和平时教学有机的结合起来，循序渐进。

构建数学模型来认识并实施应用题教学，要更加强调如何从实际问题中发现并抽象出数学问题（这是数学应用教育中最为重要的一点），然后试图用已有的数学模型（如式、方程、不等式、函数、统计量等）来解决问题，最后用其结果来阐释这个实际问题，这是教学中一种“实际——理论——实际”的策略。它锻炼了学生分析问题、解决问题的能力，侧重于培养学生从实际问题中提炼表达式构建数学模型，对数学问题及模型进行变换化归的能力。

案例二　函数与方程

1、初中数学我们已经熟悉了正反比例函数、一次函数、二次函数以及它们所对应的方程与不等式的基本概念和基本解题方法，这些内容在高中数学中也是重点内容之一，并且在初中的基础上提升、拓展。这种“提升与拓展”可以被归纳为函数与方程的思想。

2、方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。数学世界里，充斥着等式和不等式我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的等等。而函数与方程的本质是一致的，如函数y=f(x)，就可以看作关于x,y的二元方程f(x)- y=0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的

3、函数与方程的思想是中学数学的四大思想之一，占据着重要的地位和作用。二次函数不仅是初中也是高中数学中最重要的函数之一，所以衔接教材中着重和学生探讨二次函数与二次方程之间的关系，帮助学生养成良好的思维习惯、形成严谨的思考方式、熟悉除函数与方程思想以外的数形结合、分类讨论以及化归的思想，为高中数学的学习打下良好的基础。

1、一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是高中数学的重要内容，它们三者之间存在着密切的联系。本题描述的是二次函数图像的交点与二次方程根的分布之间的关系。

2、利用图形结合根的分布知识解决问题，体现着数形结合的思想方法。在解题的过程中，有对二次项系数作讨论，渗透了分类讨论的思想方法。

3、学生体会解决根的分布问题时的常用方法，为高中数学的学习做好准备。

1、考查形如

的函数成立的条件是

。

2、利用函数图像，结合根的分布特点考查

成立的条件，这体现了函数与方程的思想。讨论

是否为零，又体现着分类讨论的思想。

3、这是高中数学中的常见题、重点题，本题的目的在于与高中数学衔接，为高中数学打好基础.

1、方程的解与函数图像的交点之间存在着对应关系。尤其是二次函数解的问题，我们不能简单地利用△>0, △=0, △<0来判断解的情况，而应根据所给变量的范围进行具体的判断，此时将问题转化为两个函数交点的问题进而求解，将带来极大的方便。

2、本题的解题方法既体现了函数与方程的思想，也是数形结合的一次非常好的使用。

3、本例在高中数学中也是常规问题，而解题的方法则是高中数学里重要的思想方法，在衔接教材中出现目的在于使学生提前接触，以便进入高中后更加得心应手的学习。

1、本例考查二次函数和反比例函数，理解函数特点，会求函数解析式，并能结合“方程的根即函数图像的交点”这一方法求解问题。会辨别有三个实数解是指不仅有三个根而且有三个不同的实根。

2、本题将方程求根的问题转化为函数图像寻找交点的问题，体现了函数与方程的思想。利用两点之间的距离求函数解析式又体现着数形结合的思想。不断将复杂问题转化为易于理解的求值问题，又体现了等价于化归的思想。

3、本题是2004年上海理科20题，作了略微的改编。作为初高中的衔接教材，适当的接触高考相关内容对学生适应高中数学学习，了解高考重点难点有着积极的作用。

函数的符号y=f(x)将是学生进入高中学习首先遇到的抽象知识，正确理解它的意义，对学习高中数学有很大的帮助。本题就是用符号语言求解方程的问题。

本题复习二次函数与二次方程之间的转化，体现了函数与方程的思想方法。

本题复习分段函数的性质特点，求解有关分段函数所构成的方程，体现了分类讨论的数学思想。同时，它也是高考中的常见内容，2007年上海春季11题、2005年上海理科10题考查的都是分段函数。

本题通过讨论函数二次项系数是否为零，体现了分类讨论的思想。考虑方程所对应的函数与x轴的交点个数，体现了函数与方程以及数形结合学思想。

我们可以利用根与系数的关系解决本题，也可以利用函数与方程的思想求解问题。旨在帮助学生建立数形结合、函数与方程的思维方式。

不动点问题在2002年上海春考22题中考查过，本题是22题的前两小问。通过解不动点问题，以联系的观点看待一元二次函数与一元二次方程之间的关系，求解f(x)=0的不动点实际上是求方程f(x)-y=0的根。第（2）题中，求a的取值范围，体现了一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的相互转换的关系。“三个二次”之间的相互转换在高中数学中属于重点内容。

函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

一般地，高中数学里所涉及的函数的思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：函数的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。本案例主要强调二次函数和二次方程的思想转换，由浅入深地逐步熟悉这种思想方法，为高中学习打好基础。
在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。

1、函数思想是高中数学课程的主线，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高考中，涉及面广、联系广泛、方法灵活、综合性强、难度较高。有关函数与方程、函数与数列、函数与不等式、函数与三角、函数与解几、函数与立几的综合应用问题充分体现函数在高中数学中的地位。

2、以下逐一介绍本环节中出现的案例：

①函数关系式的建立。应用题是数学与生活实践连接最紧密的一类问题，对于此类问题的求解，需要我们具有细致的分析问题能力，严谨的推理过程，和丰富的数学理论。中学阶段遇到最多的应用题莫过于函数型应用题、数列型应用题和几何型应用题，它们既是高考的重点也是难点，所以在衔接教材中，结合初中已学过的正反比例函数、一次函数、二次函数还有平面几何知识，针对高中对一次函数、二次函数的较高要求，设置例题，一方面复习巩固已有知识，一方面为高中学习作好铺垫。

②函数与方程。函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。

函数涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。初中数学对一次方程、二次方程的要求细致，高中在此基础上延续、拓展、加深，很多方程问题利用函数的观点、结合函数图像会使问题变得更加直观易于理解，其中也渗透着数形结合、分类讨论、等价化归的思想方法。有了这思想方法就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。为高中数学的学习打下良好的基础。