数学-初高中衔接问题

在进入本课程之前，相信你已经完成了课前思考和讨论的问题，因为，我们每一讲都是在思考和讨论的基础上展开。

第一部分初中课程标准解读

本部分内容包括：函数、正比例函数和反比例函数、一次函数、二次函数

▲认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值、值域等概念；知道常值函数。

▲能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。

初中的函数内容旨在展示函数概念的形成过程以及函数图像的画法，使用待定系数法求函数解析式，重视有关性质获得的过程。不涉及抽象的表述方式，具体的函数基本性质。

二、正比例函数和反比例函数

▲理解正比例函数的基本概念，能画出正比例函数的图像。

▲熟悉正比例函数的性质，会求正比例函数的解析式。

▲结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式。

▲能画出反比例函数的图像，根据图像和解析表达式y=kx（k≠0）探索并理解其性质（k>0或k<0时，图像的变化）。

学习正、反比例函数仅限于知道它们各自的函数图像性质，能够根据要求求解析式，降低函数之间的运算要求。

▲结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。

▲会画一次函数的图像，根据一次函数的图像和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解其性质（k>0或k<0时），图像的变化情况。

▲能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

一次函数只涉及函数的解析式、图像和图像的变化情况，注重通过图像特点体会一次函数的变化特点，对直线的斜率、截距、倾斜角、单调性等不做更多的要求。

▲通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

▲会用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质。

▲会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题。会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。

初中学习的一元二次函数主要针对定义域为一切实数的函数而言的，不涉及对称轴位置变化、定义域变化等分类讨论的思想方法。

第二部分　教学案例剖析

案例一　正反比例函数的教学设计片断

1、函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。高中数学的四大思想中的“函数与方程思想”、“分类讨论思想”、“数形结合思想”在函数中都有着极为广泛的应用。所以，函数是高中数学的基础，同时也是重点。

2、高中学习，用集合与对应的语言刻画函数，以抽象的记号表示函数，再从直观到解析、从具体到抽象研究函数性质，并能从函数解析式、函数的图像、函数具备的性质来解释问题。正是由于函数形式的抽象性和解法的多样性，带来学生理解方面的困难。所以，以具体情景引入，便于学生理解抽象的函数概念，知道函数的表示形式，为高中学习作好准备。

1、本例考查正比例函数的基本概念，培养学生观查、分析、解决问题的能力（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第62页）

2、问题以表格的形式体现函数，学生可以通过表格中提供的数据适当列式求解，体现了函数与方程的数学思想。

3、函数主要有三种表示方法，图表法是其中的一种，这为学生可能接触到各类函数的问题情境打下铺垫。函数与方程的思想使高中四种数学思想之一，本例的出现能够使学生较早地对此类思想产生认识，以便可以在今后高中数学学习中能熟练应用。

1.本例也是旨在考查正反比例函数的基本概念。

2.除了函数与方程的思想外，本例还要求掌握正反比例函数的图像，利用图像发现图形之间的特点，这也是数形结合的思想体现。

3.高中数学还注重培养学生分析、观查、推导问题的能力，所以本例的第（2）问的设置意在培养学生此方面的能力。

1、巩固函数的基本概念，掌握能作为函数图像的要求；

2、从本题可知函数的图像可以是连续的也可以是离散的。分段函数、点函数和常值函数。在高中学习中都是常见函数，本题的设置为高中学习做好预设。

1、本例学生直观地认知函数，利用函数图像分析问题，它也体现着数形结合的思想方法。

2、本题不仅考查正、反比例函数的图像，其中也有幂函数，幂函数是高中将学的基本函数之一，它图像的变化多样，研究起来比较复杂。所以本题也为高中学习幂函数打下基础。

本题与例1呼应，加深对反比例函数的理解。

函数是高中最重要的内容之一，数形结合思想又是重要思想之一。从易于理解的正、反比例函数开始结合图形处理问题，由浅入深逐步拓展思维，加深对图形的理解和应用。

案例二　一次函数

1.本题考查一次函数与正比例函数的区别，根据函数性质、图像特点探索参量范围。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第66页）

2.将一次函数与直线结合，利用方程组的解和曲线交点之间的联系求解问题，体现了数形结合的思想。

3.数形结合思想是高中重要思想之一，让学生比较早的接触这一思想，对于学生进入高中数学的学思会有比较大的帮助。此外，图像交点和方程组的解之间的转换，还体现了函数与方程的思想，促进学生思维。

在高中，“比较法”和“单调性”都是判断两个量之间大小的常用方法，所以，本题的目的是为高中不等式与函数做好准备。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第66页）

本例利用数形结合将问题化难为易，是高中常见方法，也是重要考查内容，所以作为提高题展现给学生，作为能力训练。

1、一次函数的图像是直线，平面内两条直线的位置关系有相交、平行、重合。利用函数的斜率和截距之间的关系判断两直线的位置关系。这体现了数形结合的思想方法。

2、本例也解释了一次函数与一次方程之间的转换，体现了函数与方程的数学思想。

3、两直线的位置关系是高中解析几何的基本内容，设置本题的目的在于让学生感受函数、方程、图形之间的关系，为高中学习两条直线的位置关系作好铺垫，为用向量体系研究两条直线的位置关系做好准备。

本题旨在复习一次函数的基本概念，考查函数单调性，形成良好的解题习惯。

1、本题考查锐角三角比的正弦、余弦和正切，注重建立直角三角形的边角关系。

2、直线的倾斜角和斜率是高中解析几何的基础内容和重点内容，尽管本案例没有提到直线的倾斜角和斜率的基本知识，而本题在求解时或多或少地用到了直线的思想，为高中学习打下伏笔。

理解图像的交点与方程组的解之间的关系，认清一次函数的图像，为高中进一步学习直线打好基础。

直线作为解析几何的基础章节之一，是代数问题转换为几何问题的桥梁，一次函数的图像是直线，通过此案例，使学生逐渐建立起几何图形的观点，为高中学习打好基础。

案例三　二次函数

一元二次方程、一元二次不等式、二次函数简称为“三个二次”，是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，它们互相联系、互相渗透，组成了一个特殊的知识板块，是一个有机的整体。

初中学习以二次函数的基本概念为主，学习二次函数的解析式、图像以及基本性质，重视画二次函数的过程和方法，重视配方在研究二次函数中的作用。

高中学习更加注重“三个二次”之间的联系，一元二次方程根的问题可转化为一元二次函数与x轴的交点问题，一元二次不等式的解法则可利用函数图像特点来研究，利用化归的思想来解决有关“三个二次”之间的问题，能使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，起到化难为易、化生为熟、化繁为简，从而达到简易求解的效果。

此外，分类讨论、数形结合的思想在函数中也经常被使用，含字母系数的不等式的解，方程的根，函数性质的讨论等等，都是高考的重点内容。解决“三个二次”问题的基础是熟练掌握它们的基本概念和基本性质，所以本案例的教学内容旨在帮助学生熟悉二次函数，巩固旧知、研究新知。

1.考查二次函数的基本概念，会判断二次函数的开口方向，求二次函数的顶点，能体会函数值大于零、小于零时所对应的图像特征。

2.体现了函数与方程、数形结合的数学思想。

3.一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的存在着对应关系，本题对高中数学的学习也起到作用。

能结合定义域在坐标系中画出函数图像，为分析函数提供平台。

初中数学对于一元二次函数的配方有较高的要求，配方之后能根据开口方向求得最大值，而高中数学则不仅仅停留在“顶点处取得最值”，往往需要结合定义域和对称轴判断。（您可以参考《数学——初高中衔接教材》，第72页）

对称轴所在位置对一元二次函数的最值起到关键的作用，分类讨论的思想也是高中数学中的常见思想。本题通过分类讨论对称轴所在位置，结合图像分析问题有体现了数形结合的思想。对于有能力的同学作为能力训练。

上述练习目的在于复习巩固二次函数的基本概念，其中包括顶点、对称轴、判别式以及函数的图像，进一步体会二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系。

恒成立问题是高中数学的常见问题，对于刚刚熟悉二次函数基本性质的初中生而言，比较复杂。需要学生建立针对恒成立问题的思考方式和常规解题方法，二次函数图像方法、变量分离和变量转换是最常见的处理恒成立问题的方法。这些处理问题的手段和方法也体现了“三个二次”之间可以互相转换的关系。

本题是2002年上海春考试题，考查配方法求函数最大、最小值的能力，以及判断二次函数单调性的能力，由于初中没有指出单调性的定义，所以此处以函数变化的特点考查学生的分析能力，为高中函数学习作准备。

二次函数是高中最重要的函数之一，我们往往结合二次函数的定义域、对称轴、开口方向以及图形特点研究问题，所以，本案例希望在此基础上培养学生分析问题、解决问题的能力，逐步建立分类讨论、数形结合的思想方法，为高中学习打下基础。

1、函数是中学数学最重要的内容之一，更是高考重点考查的内容。在初中阶段，学生已经学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，获得了关于函数的初步知识。在高中阶段，学生学习的函数概念是初中阶段所学函数概念的深化与提高。在高中阶段函数被理解为集合（定义域）与集合（值域）间元素的对应关系，研究函数的一般性质和图像特征，描述着变量与变量之间的依赖关系。

2、衔接教材《函数与分析》章节注意与初中阶段内容的衔接、过渡和提升。以下将就每个案例逐一说明：

①正比例函数与反比例函数。初中数学对于正、反比例函数的讲述是非常详细的，介绍了解析式、绘制了函数图像、研究了函数的基本性质。高中学习则是对两者的提升，从函数的运算角度研究了形如

的函数，锻炼学生的观查问题、研究问题、类比问题的能力，在2006上海文科数学22题有所考查。

②一次函数。一次函数的图像是直线，初中学习了一次函数的解析式、图像和基本性质，高中在此基础上增加了斜率、截距、倾斜角、单调性等等内容，利用分类讨论、数形结合、函数与方程的思想解决含参量的问题。此外，高中函数与解析几何的关系也十分密切，直线以及直线和圆锥曲线之间的关系，体现着一次函数的应用。

③二次函数。一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中的重点内容，贯通函数与代数，例如：我们利用二次函数的性质解一元二次不等式，利用二次方程（组）的方法判断图像的交点，利用不等式的方法求函数的值域等等。

3、衔接教材《函数与分析》章节，渗透着多种数学思想，例如，函数与方程、数形结合、分类讨论等等。这些思想不但是中学数学的主要思想，贯穿于每一知识点之中，也是高考重点考查内容，2008年上海春考3题、19题、22题，2008年上海理科11题、19题考查的都是这些思想。

4、衔接教材之于初中与高中，起着承上启下的作用。本章内容也是如此，承上：复习巩固初中的重要内容，启下：通过深化初中知识，结合高考重点，重新编排内容，由浅入深帮助学生思考，形成良好的思维习惯和思维方式，为高中学习大好扎实的基础。