数学-初高中衔接问题

在进入本课程之前，相信你已经完成了课前思考和讨论的问题，因为，我们每一讲都是在思考和讨论的基础上展开。

第一部分　初中课程标准解读

本部分内容包括:代数式求值、因式分解、分式及其运算、方程和不等式（组）、一元二次方程、二元二次方程组、列方程不等式（组）解应用题

一、代数式求值

在已有经验的基础上，进一步理解用字母表示数的意义；理解代数式的有关概念。

通过列代数式，学会文字语言与符号语言的转译；在求代数式的值的过程中，进一步掌握实数的基本运算；领悟字母“代”数的数学思想，提高数学语言表达能力。能用代数式表示含有字母的“加权平均数”和“可能性”问题的结果。

注：在求代数式的值时，不涉及繁难的计算，重在对实数的运算法则的进一步掌握。

在高中阶段，代数上的要求由数字之间的简单运算转化成了数集之间的运算，由加减乘除变成的交并补等。不仅要求学生有文字到符号的转译，更要求能从一些符号语言去观查、思考、表述和解决一些实际问题。同时，在要求上不仅仅是对数字之间规律的理解，而是让学生能够从特殊数字推广出一般规律，并能运用数学语言进行表达，交流。例如，在高中《数列》一章7.1（1）习题中，要求写数列

的通项公式

。这就要求学生能够用数学的语言来表达数字之间的规律，同时在运算上要求比初中的要求更高。

理解因式分解的意义，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法和二次项系数为1时的十字相乘法等因式分解的基本方法。所涉及的多项式不超过四项。

注：在因式分解中，不涉及添项、拆项等偏重技巧性的要求。关于二次三项式的因式分解，主要学习利用求根公式进行，不要求掌握用十字相乘法对二次项系数不等于1的二次三项式进行因式分解。

因式分解是高中数学学习中必不可少的数学运算方法，它渗透于每个单元中。在函数、方程、曲线中到处可见。所以高中数学对学生这方面的要求明显高于初中，同时在初中《余数定理》是作为拓展内容来学习的，所以一般的学生很难熟练的掌握和运用余数定理来解题。2004年高考第20题即考查了学生这方面的能力。而在高中教材中并未重现《余数定理》的相关内容，可见这是作为初中已学知识来考的。例如：在高二（第一学期）练习册第10页第四题：已知数列

是等比数列，且

成等差数列，求公比？当学生计算到

时，大多数高二学生不知所措。说明因式分解的内容大都遗忘。特别是《余数定理》。因此，在这里笔者将因式分解分成了几块内容，一方面复习原来初中的知识，另一方面增加新的内容。

三、分式及其运算

理解分式和根式的概念，掌握二次根式的性质，掌握分式、二次根式的加、减、乘、除运算法则。不出现繁难的二次根式运算，通过类比整式、分式、二次根式的运算，进一步体验类比思想和化归思想。

分式在函数、不等式、数列、圆锥曲线中随处可见。在初中仅仅只是掌握简单的加减乘除运算，不要求复杂的运算，而在高中函数中要求学生掌握常数分离等方式来运算。同时在证明不等式中，常常运用作“比”的方式来比较大小。在解析几何中，要求学生用分式来表示直线方程，例如：以

为斜率，过点

的直线可表示为

。同时还要求学生利用分式来解决实际问题。例如：03年高考20题，半椭圆型隧道，求椭圆方程。就是考查了学生解分式方程的能力。这点在高中学习中也被视为学生早已经掌握的东西。因此，教师很少会帮助学生复习算法。

四、方程和不等式（组）

知道整式方程的概念，进一步掌握一般的一元二次方程的解法，掌握根的判别式的基本运用以及根与系数的关系；知道利用计算机（器）求高于二次的整式方程的近似解。

建立分式、根式与方程的联系，理解分式方程、无理方程的概念；领会把分式方程整式化、无理方程有理化的转化思想和解方程的方法。

解分式方程、无理方程限于简单情形；在解分式方程中学习换元法和整体代换思想；不要求用换元法解无理方程。

在初中，对方程只是建立在简单的理解和领会上，并未要求学生做复杂的运算，更没要求利用方程去解决两个二元方程的实际问题。在高中这不光被视为基础，而且要求学生掌握解含字母讨论的方程。同时要求他们将方程中所学的方式方法去理解不等式的求法。甚至在高考中常常见到将函数交点问题划归为方程有解的问题来解决。例如2003年高考16题，就是将函数图形和方程解的内容挂钩，考查了学生的转化能力。而这些内容却未在我们的高中教材中明确提出，只是通过一些习题来体现。所以，当学生一接触此类题往往就是没有思路，或是一知半解。在不等式方面初三学生理解的只是一元一次不等式的基本运算，对不等式的概念，性质十分淡薄。在高一一上来就是不等式性质，不等式证明，一元二次不等式，含字母的不等式。内容多了，要求也高了许多。所以，常常出现听不懂，不会做。打击了学生的积极性，对数学产生了恐惧。不利于今后的教学。

五、一元二次方程

理解一元二次方程的概念；经历一元二次方程解法的探索过程，会用直接开平方法解一元二次方程，再进一步掌握利用配方法求解。体会配方法的运用和探究学习的方法，增强化归意识。

在探索和实践的活动中归纳判别式和求根公式。会求一元二次方程的判别式的值，知道判别式与方程实根情况之间的联系；掌握一元二次方程的求根公式。

注：这里涉及的一元二次方程一般都是整系数方程。除明确所求实根可为近似根外，一般应限定一元二次方程的系数使它的判别式为完全平方数。

一元二次方程作为初中已经掌握的知识，所以，一般的高中教师很少会帮助学生复习一元二次方程的概念、解法。到高中后，大多数学生已基本遗忘。在高中教学中，直接面对的就是一元二次不等式，一元二次函数的图像和性质。所以，有时会出现某些学生连基本的运算都不过关，降低了学习效率。但是，一元二次方程是历年高考的必考内容，常常和指数方程、对数方程、数列、复数、向量、三角、圆锥曲线等内容综合考查。例如：05年第5题，07年第4题，07年第12题等都考查了学生解方程的能力。

六、二元二次方程组

二元二次方程组限于组内两个方程之一是二元一次方程或两个方程中至少有一个容易化为二元一次方程乘积的形式，掌握这样的二元二次方程组的解法，注重领会“降次”和“消元”的思想方法。

在初中二元二次方程组的要求很低。学生只需掌握最简单的解二元二次方程组。在学习求椭圆、双曲线的方程，研究直线和曲线的关系时，解二元二次方程组的重要性被很好的体现出来。高中教师一般不会复习解二元二次方程组的方法，教材上也是直接运用，因而，学生常会算错。在高考中，更是屡见不鲜。例如：2005年18题，2004年22题中都考查了解二元二次方程组的基本技能。在衔接教材的例题中，增加了根的分布问题，这块内容在初中几乎是空白，到了高中后，教学上对学生的要求更进一步变为能利用不等式，或图像来解决根的问题。2005年高考16题就考查了学生这方面的能力。

七、列方程不等式（组）解应用题

会应用一元二次方程、分式方程等解决简单的实际问题。增强分析能力和形成模型思想。进一步领略转化与化归的思想方法。注意从现实生活和生产实际中提出问题，并有机结合进行思想教育。

在高中，利用方程、不等式、函数、数列、三角、解析几何、立体几何知识，解决实际问题是一块非常重要的，应用能力也是学生的一个薄弱环节。在高考中，应用问题每年都考查。例如：04年18题，05年20题，06年18题，07年18题，08年17题都考查了学生解决实际问题的能力和建模的思想。而在初中，这方面的要求只是建立在列简单的一元方程上，学生很难从初中的学习中得到很好的锻炼。到了高中，由于课业紧张。一般情况，教师只能把应用题作为一些专题来讲，学生缺乏锻炼，考试常常没有思路。所以，教者将这部分内容补充进来，起到了复习，巩固，提升的作用。

第二部分　教学案例剖析

案例一　代数式求值的教学设计片段

1.　本例将代数式与实际问题结合起来，培养学生分析问题解决问题的能力。

2.　分析问题时同时提供了图形，学生可以通过对图形的分析寻找出量与量之间的联系，这里体现了数形结合的思想方法，同时又运用了解方程的思想。

3.　学有余力的学生可以思考两种方案的优劣，即引起学生的学习兴趣，同时又为高一即将学习的利用基本不等式证明作铺垫。（您可以参考《数学—初高中衔接教材》，第12页）

1、本练习与例1相呼应，训练学生解决实际问题的能力。同时与高中教材第七章数列相关。

2、提高学生计算能力，为高中纷繁复杂的计算做准备。（您可以参考《数学—初高中衔接教材》，第13页）

本单元分成两块内容，一是代数式的概念；二是代数式求值。在第一块内容中让学生掌握如何将实际问题转化为数学问题，利用数学语言表达。而第二块内容这是在原有的基础上进行提升。同时，在例题中涉及到了简单的变式，增强学生的运算能力和反应能力。为高中的学习打下基础。

案例二　因式分解的教学设计片段

根据学生的情况，在节前重现因式分解的常用方法，在复习的基础上进行拓展，同时又为学生整理归纳了初中时较为零散的知识点，增强学生整理归纳的好习惯。本节共分六部分内容，分别是提取公因式法，分组分解法，公式法，十字相乘法，配方法，余数定理。

[分析]这里将因式分解运用于判断三角形形状问题。将问题化归为勾股定理。同时“或”与“且”之间的区别。学习用数学符号语言把规律性的认识简明地表达出来；训练思维的多向性。为接下来高一即将学习的解三角形做好准备。（您可以参考《数学—初高中衔接教材》，第17页）

本题利用到了初中拓展知识“余数定理”来进行多项式的因式分解。在这里主要运用了待定系数法这一常用数学方法，在高中数学的运算中，待定系数法是常见的计算方法。2004年高考第20题，即考查了余数定理的应用。

本练习共六小题，分别对提取公因式法、分组分解法、公式法、十字相乘法、配方法、余数定理进行了巩固训练。有效地对因式分解的问题进行了分类。训练学生计算的能力，并使学生更清楚不同类型的所适用的不同解法。在今后的学习中，若遇到此类问题，都可将问题化归几种类型之一来解决。使学生更加系统的，完整的掌握知识。

此题与例8相呼应，能更好的锻炼学生的学习能力。

因式分解是高中数学中最常用的运算方法。所以掌握因式分解是必需的。它渗透于高中数学的每一章节。在本节中，笔者将因式分解进行了归纳整理，让学生更清楚的，更有效地学习，同时在例题中，加上了与高中的思想方法和知识点相关的内容，为学生学好高中数学打下基础。

案例三分式及其运算的教学设计片段

本单元分为分式的意义和性质，分式的运算两块内容。在第一块内容中重现主要概念和性质，使得学生在巩固基础的条件下进行分式运算。

此例考查学生对绝对值、根式等概念的掌握程度。将一个较为复杂的方程化归为二元一次方程组。锻炼学生的观查能力及分析能力。对今后高中数学解方程或不等式作铺垫。

分式在初中的要求基本是掌握加、减、乘、除的简单运算，在高中，分式运用于方程，不等式，还有在实际问题中也常出现。因此，重现分式的概念及运算是有必要的。

案例四方程和不等式的教学设计片段

本题将绝对值方程和一元二次方程相结合，利用绝对值的意义进行分类讨论，这是高中比较典型的题型，通过对本例的理解，可以为不等式做准备。同时，学有余力的学生可以将问题看成图形交点问题，拓展了思维。（您可以参考《数学—初高中衔接教材》，第30页）

在初中的教材要求的基础上，例2，5，7分别加上了字母讨论。分类讨论的数学思想贯穿于其中。使学生理解未知数系数为零时，方程解的分布。进一步巩固解一元一次方程、分式方程、绝对值方程所需条件。为高一即将学习的不等式解集的分类讨论做好准备。这一直是高一学生较难接受的问题。

同时在解分式方程、无理方程时所必需的检验根的步骤也得到了体现。（详见《数学初高中衔接教材》第28页）。
在判断方程有解的问题上，教师不妨可以利用图像交点问题来解释。这样既体现了数形结合的数学思想方法，同时让学生领会解方程问题和图像交点的紧密联系。（您可以参考《数学—初高中衔接教材》，第31页）

本题通过因式分解将问题转化为“同正”“同负”两种可能情况。体现了分类讨论的思想方法。为高一第一学期即将学习的一元二次不等式做准备。同时教师在授课过程中可以推广到分式方程，体现了类比思想。（您可以参考《数学—初高中衔接教材》，第37页）

在本单元中，思路基本一致。在重现基本解法的同时，加上字母讨论。这为高中分类讨论的数学思想方法作好准备。而且对方程和不等式进行了分类。通过不同类型的方程学习，使学生领会转化的思想。

此练习和例相互应。起到更好的巩固作用。让学生熟练掌握解此类题的方法。能熟练的运用分类讨论的思想方法解题。同时能更进一步认识几类方程的特点，为今后的解不等式做好准备。

此题是在例13的基础上，推广到解简单的分式不等式。

案例五一元二次方程的教学设计片段

本单元分成三部分内容，分别是一元二次方程解法，一元二次方程判别式，一元二次方程根与系数的关系。展现了性质、公式的推导过程，培养了学生以严谨的态度对待数学的意识。同时在例题方面，分别在原来的基础上加以拓展，增加了重要的思想方法，拉近了与高中的距离。

本例让学生理解了一元一次方程，一元二次方程的概念，分三个问题，形成坡度，层层深入，使学生更容易接受。同时给学生提前灌输了分类讨论的思想方法，为今后在高中数学学习中遇到的字母讨论问题做准备。（您可以参考《数学—初高中衔接教材》，第43页）

通过判别式的推导，能更直观的掌握知识点之间的联系。此时学生不难找到根与系数的关系。同时，也为今后的一元二次不等式做好准备。（您可以参考《数学—初高中衔接教材》，第46页）

此题许多学生会忽略判别式是否大于零的环节，而直接利用求根公式解，这种情况在高中计算中常常发生。因此，让学生能更清楚的理解判别式的功能，同时分类讨论是整道例题的主线，说明分类讨论的重要性。而分类讨论这一重要思想方法渗透在高中数学的大部分内容中，所以掌握这一思想方法对学好高中数学起了举足轻重的作用。在思考一栏中，提示学生将问题转化为图像交点问题。又运用到了数形结合的方法。

本例主要是提供了二次方程解的分布内容。这一内容在初中未被提及。但与高中数学的一元二次不等式，二次函数有着紧密的联系。在教学中，教师可以在讲解中利用二次函数图像解决的方式来授课，或是对学有余力的学生加以暗示和引导，对学生今后的发展是有很大的帮助的。

本题和例7、11相呼应。让学生自己尝试做，在练习中加深理解。

一元二次方程在高中数学中的运用很广泛。对二次函数，一元二次不等式都有着很重要的作用，本节将第一部分解法分为四种主要解法，加深理解。在例题中加入了高中数学常用的“换元法”，和分类讨论的思想方法。同时在根与系数关系中，涉及了根的分布，为高中学习函数做准备。

案例六二元二次方程组的教学设计片段

本题是以曲线交点的形式设问的。通过对例题的剖析，可见问题化归为解方程组的问题。从中体现了化归的思想方法，同时又将问题转化为方程有解的问题。通过对系数的讨论，得到几种可能情况，又体现了分类讨论的思想。同时在授课中可以加上曲线图像和动直线的交点变化情况（可以用多媒体演示），让学生尝试用函数图像运动的方式解题。引起学生的学习兴趣，又为今后的数形结合的思想方法的掌握做铺垫。

本题和例5相呼应，让学生自己尝试做，加深理解。

本单元只要求学生会基本的运算。通过对代入法，因式分解法的介绍，帮助学生理清思路。掌握“降次”“消元“的方法，领会化归的思想。在这里，笔者例举了直线与圆、直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系。同时，又隐含了一解、两解、无解的情况，为高中圆锥曲线的学习做好准备。

案例七列方程、不等式（组）解应用题的教学设计片段

例1是方程和不等式的实际运用。在节前笔者将列方程、不等式（组）解应用题的基本步骤做了整理。为学生理清了思路。在学习中要注意到方程应用题和不等式应用题的区别。增强学生分析能力，领悟数学建模的思想。在今后的学习中常常会遇到各种各样的实际问题。如何将不等式应用题和函数应用题，数列应用题区分是很重要的。

此例将实际问题化为不等式的题来解，训练了学生分析问题解决问题的能力。同时，使学生领会数学来源于实际，运用于实际。

利用方程和不等式解决实际问题，一直是高中学生较为薄弱的地方。主要问题是，对不懂题，不会找量与量之间的关系。所以在本节中，帮助学生理清思路，培养他们的建模思想。利用方程和不等式来分析一些自然现象和社会现象。同时又为高一即将学习的函数关系的建立和高二的数列应用做好准备。

通过对初中课程标准的解读，在研究历年高考试题之后。发现不管在教学内容上，教师的教学方法和学生的学习方法上，例题的选择上都有着很大的差距。初中优秀的学生进入高中后常常出现不适应现象，成绩直线下降。打击了学习的积极性。例如：在初中只要求简单的概念理解，简单的计算。不要求含字母讨论题，不要求图形解题。因此，学生没有这方面的意识。到了高中后，教师常常认为这些应是学生早已掌握的基本技能。更不会用大量的时间和习题去帮助学生加强这方面的意识。因而，在课堂中，出现跟不上老师的“节奏”。例如，“数形结合”的运用几乎在每年高考中都会出现，03年16题，04年5题，10题，17题，05年11题，08年11题等。所以学生需要在原来完全空白的情况下，接受和掌握这种思想方法。因而，本讲在设计的过程中力图原有知识的重现，再在原来基础上拓展。提前为学生提供重要的思想方法和数学内容。为学生高中三年紧张的学习争得了时间。

布局上，本章主要内容有：代数式求值、因式分解、分式及其运算、方程和不等式（组）、一元二次方程、二元二次方程组、列方程不等式（组）解应用题七个小节。每一节各分为几部分内容。各节内容的编写力求遵循学生的认知规律。从概念性质，到习题讲解，再到拓展运用。一方面为学生复习了初中已学的内容和思想方法，加强理解和掌握。另一方面，将内容拓展，把初中学习的简单概念，性质与高中内容结合，补充了初高中在内容上，教法上，学法上的空缺。例如：在一元二次方程根与系数的关系一节中。首先，将初中所学的根与系数关系等内容重现，接下来是对简单例题的讲解，充分的巩固原有基础知识。然后在原有的基础上增加了一元二次方程根的分布，为高中学习做铺垫。同时，根的分布在高考中也有所体现，例如，05高考16题及考查了根的分布问题。

选题上，围绕所要学习的数学主干知识，选择有意义的、能够表现重要数学思想的例题。在例题讲解中，笔者基于初中学生的认知水平给出了较为详细分析及步骤，帮助形成良好的数学思维习惯和书写习惯，增强分析问题的意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心。

到了高中，学生独立思考和探索的愿望和能力有了一定的基础，并能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。本讲提供给学生以充分的探索与交流的时间和空间，设置一些具有挑战的问题情境，激发学生进行思考；提出具有一定跨度的问题来引导学生进行自主探索；提供一些开放性的问题，使学生在探索过程中进一步理解所学知识；让学生经历多角度认识问题、多种形式表现问题、多种策略思考问题、尝试解释不同解答案的合理性，以发展其创新意识和实践能力；提出一些问题，引导学生对学习过程进行评估和反思。有些地方，加上了“注意” ,“思考”，增强了内容的完整性。

由于许多问题要求学生自主完成，因而有一定的难度。许多初中生早已习惯了老师填充式的教学，只会模仿做题，缺乏独立思考和探索的能力。到了高中，面对高中老师的教学方式，就感到不适应。因此，在教法和学法上都需要变化。

在教法上：①老师应注意学生的反应，尽量讲细讲透。②多运用启发教育，不能一味灌输。让学生慢慢适应这种方式。③在讲解中注意做题方法的衔接，有时不妨可以运用初中的做法，再展示高中的做法，形成对比。④注重培养学生预习，复习，总结的习惯。⑤在《衔接教材中》，教师可以按照学生的不同情况，增加或减少内容。例如：在2.1.1例3中，教师可以引导学生思考（1）(2)中时间哪个更少？为今后即将学到的基本不等式做准备。又例如2.5.2例7和2.5.3例11，教师可以适当的增加利用图像交点的方法。扩展学生的视野。同时，为“数形结合”重要思想方法做铺垫。⑥在教学中，教师应以提高学生学习的兴趣和提高学生学习的能力为主要目标，因此，教师的评价是很重要的。

在学法上：①学生应注重解题的每一个环节，特别是过程，而不是最终的答案。应把握主要知识点。②不能一味的钻偏题、难题。应注重通法通解。③在平时注意知识点的积累，学会总结归纳。④要用联系的眼光看所学的内容，多角度看问题，学会从特殊到一般来看问题。学会举一反三。