第八课 风险决策的数学模型  
 

通过若干实际例子学习数学期望在风险决策中的应用。本课先结合例子补充了风险决策的有关知识。

  
 

重点是学习风险决策方法：了解什么情况下可以用这种方法，决策的基本原则是什么等等。本课涉及的数学知识是概率的计算、随机变量的数学期望。

  
   
 
 风险决策的主要思想

在经济活动中，人们往往面临多种不同方案，因此如何选择一种“最好”的方案，显得十分重要。这种先于实施的决定称为决策。

在做决策时，对象的未来情况一般带有不确定性，因而在决策时要准备承受一定损失的风险。这样的决策称为风险决策。

风险决策要求在平均意义下达到最优，即对带有随机性变化的事物，风险决策追求的是目标均值（数学期望）最优化。对于在环境会多次重复出现的条件下这种决策方法追求在平均的意义下达到最优。

 一、面包进货问题与最优决策

问题的提出

据某面包房长期经营的经验，每天面包在下午6：00以前售出100、150、200、250、300只的概率分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1。每只面包的进货价为2.50元，售价为4元。当天下午6：00以后开始打折，可以以每只2元的价格处理完剩下的面包。若生产厂家每天供货数必须是50的倍数，问面包房每天应该进多少货？

分析

现在回到面包房的问题。由于面包房每天进货，售量是随机的，应该进多少货的决策可以用风险决策方法。

数学建模

假设面包房每天在下午6：00以前售出的销量用表示，则为离散型随机变量，其概率分布为：

X 100 150 200 250 300
P 0.2 0.25 0.3 0.15 0.1

若用表示进货量，则是决策变量；以表示利润。利润与销售量有关，也与决策变量有关，记为＝，表示当进货为、按正常价格售出只面包时面包房获得的利润。的表达式为

依赖于销售量，因此＝也是随机变量。这是一个风险决策问题。选择“最佳”进货量的方法要使平均利润达到最大。以下对的各种选择（=100,150,200,250,300）分别计算。

1. = 100

= 1.5= 150 (元)；

2. = 150

若= 100，则= 20.5= 125（元）；

若，则= 1.5 = 225（元）。

的概率分布为：

125 225
p 0.2 0.8

(元)；

3. = 200

若= 100，则（元）；

若= 150，则（元）；

若，则（元）。

的概率分布：

100 200 300
p 0.2 0.22 0.55

于是= 235 (元)；

4. = 250若= 100，则（元）；

若= 150，则（元）；

若= 200，则（元）；

若，则（元）。

的概率分布：

75 751 275 375
p 0.2 0.25 0.3 0.25

=（元）；

5. ＝300

同样的方法，可得的概率分布为：

50 150 250 350 450
p 0.2 0.25 0.3 0.15 0.1

=（元）。

比较可得：当= 200或= 250时和最大。

决策：面包房每天进200或250个面包，这样在销售量没有根本性变化之前，面包房的日平均利润为235元，在平均意义下是最大的。

 
 二、填报志愿

问题的提出

某学生参加高考前需填报三个志愿。他对四个学校根据其喜好程度分别给出“喜好程度分值”，最喜欢的是10分，其次为9分，…，等等。他又咨询了老师，根据其学习成绩及填写志愿的次序，老师评估出他各种志愿被录取的概率。为使填报三个志愿有效，所填的三个志愿中学校不能重复。有关的信息见下表：

学校 喜好程度分值 第一志愿录取概率 第二志愿录取概率 第三志愿录取概率
A 10 0.2 0 0
B 9 0.4 0.1 0
C 8 0.6 0.5 0.3
D 6 0.9 0.9 0.7

他该如何填写志愿？

分析

虽然一个学生填报高考志愿一生只有一、二次，但是如果把老师的评估看作是长期经验的积累，追求最佳的志愿填报仍然可以使用风险决策方法。对一群学生来说，这样的决策方法可以使结果在平均意义下达到最佳。当然，对一个学生来说，按此决策效果是否最佳是不一定的，带有偶然性。这就像有一个袋中装有六个红球、三个黄球，大小一样，要从中摸一个出来。填志愿就像此处事先猜“摸出的是红球”一样是比较合理的决策。

因而填志愿决策准则是：使喜好程度得分的数学期望最高。

数学建模

先不考虑学校不可重复填的限制，如果此时选得的志愿不重复，得到的方案就是最佳；若选得的志愿中有学校重复，我们再作调整。

学校录取学生是按志愿先后依次录取的，但决策时要逆序考虑问题：若第三志愿还未被录取，该学生将高考落榜。所以应先考虑第三志愿。用表示选择学校，对其他选择也有类似的记号。在第三志愿中只有两种选择，第三志愿不同选择的喜好程度得分期望值分别为：

这里用下标3表示的是对第三志愿的分析。因为，第3志愿应选择。进入第三志愿的喜好程度得分期望值为4.2

再考虑第二志愿。对可能的三种选择，分别计算喜好程度得分期望值。

若第二志愿选择，则有0.1的概率被录取，有0.9的概率进入第3志愿而获取喜好程度得分这样，

同样可以计算得到

因为，所以第二志愿应选择。进入第二志愿的喜好程度得分期望值为6.1

最后再考虑第一志愿。注意到第一志愿选即使录取得到的喜好程度得分为6，小于进入第二志愿的喜好程度得分期望值6.1，因而在考虑第一志愿时可以排除。这样计算三种选择喜好程度得分期望值分别为 ：

因为，所以第一志愿应选择。

根据我们的决策准则，该学生第一、二、三志愿应依次选择。三个志愿不重复，不需调整。

讨论

如果出现所选志愿有重复，应如何调整得到不重复的最佳选择？例如评估表为

学校 喜好程度分值 第一志愿录取概率 第二志愿录取概率 第三志愿录取概率
A 10 0.2 0 0
B 9 0.4 0.1 0
C 8 0.6 0.4 0.3
D 6 0.9 0.9 0.7

（更改的概率已用红字标出）

计算得到志愿选择为。

提示：第二志愿与第三志愿相比，一般应该先尝试修改第二志愿。这样修改后是否可以得到不重复的选择？