问题的提出

有人在街角设赌：他用20枚签（其中10枚标有5分分值、10枚标有10分分值）让过路人从中抽出10枚，以10枚签的分值总和为奖、罚依据。具体奖罚金额见下表：

从上表看来，抽签有奖有罚，在11个分值中有4个分值可以获奖，且最高奖额为100元；只有3个分值要受罚，而罚额仅为1元，很有吸引力吧？怪不得吸引了众多的过路客跃跃欲试。那么，设赌局的人真的是在送钱给过路人吗？

数学建模

每次抽签的结果是随机的，因而应该分析大量过路人奖惩的平均情况才能对这个赌局是否公平作出结论。用表示奖罚金额，可能取、0、10、100四种值，而且取这些值各有一定的概率。这是一个离散型随机变量。为揭露设赌者的骗人本质，我们可以计算随机变量取各种值的概率及其数学期望来说明。

求解

一： 求的分布列

为此，要计算随机变量取4种值的概率：

首先从20枚签中抽取10枚的取法共有种。这也是问题的基本事件总数。

先计算罚一元钱的概率有多大？罚钱的分值有75分、70分、80分四种。

总分值为75分，只有可能是抽到5个5分签，5个10分签；总分值为70分，只有可能是抽到6个5分签，4个10分签；总分值为80分，只有可能是抽到4个5分签，6个10分签。抽到这些结果的将分别有

, ,

种情况。于是事件“罚一元”所包含的可能结果数为

。

以表示事件“罚一元”的概率，有

这就是说，在11个可能出现的分值中，抽到70分、75分、80分这3个分值的概

率竟达到了82%，难怪设赌局者把罚额设置在这3个分值上。

再看看得到大奖100元的概率有多大？

只有抽到10个5分签，得到50分总分时或抽到10个10分签得到100分总分时，才能得到100元的大奖。这样的取法只有2种情况。于是便有

这个概率比全国一年中骑自行车者遭遇车祸的概率还要小，可见，要想得到这个大奖，希望实在太渺茫。

类似地，可以得到

离散型随机变量的概率分布如下表：

二．求的数学期望

的数学期望为：

按数学期望的含意，近似地说，所有参加的人平均每人给设赌局者0.81元。人数越多，这种说法就越精确。

拓展练习

1. 借用正文问题中的20枚签，策划一个有奖销售方案（例如，抽到75分者须购买某商品，而抽到其他分值均可获奖，奖额从1元至1000元不等），讨论其可行性，并推荐给某个商家。

2. 小华班里有50位同学，小华发现他与另一位同学在同一天过生日。一年有365天，每一个人都可能在365天中的任意一天出生，而现在50 位同学中竟然有2位同学“不约而同”地在同一天过生日，这是偶然的吗？这其中是否有一定的必然性？

问题提出

全校共1500名同学参加学校组织的对某个血液指标的体检。有人提出，如果检出阳性率较低，而需检验的人数又很多，用下面这种方法进行验血是否可以减少化验次数：按个人一组进行分组，把从个人抽来的血混合在一起进行检验。如果这混合血液呈阴性，就说明个人的血都呈阴性。若呈阳性，则再对这个人的血分别进行化验。如果这个设想是可行的话，那么等于多少时，可以使检验次数最少？

数学建模

以表示一个学生平均验血的次数。若按常规方法验血，每人验一次，则＝1，为常数；若按该建议实施分组验血，则由于分组验血结果不同，是随机变量。

当一个学生小组的混合血液呈阴性时，个学生只验了一次血，平均每人的验血次数为；当该小组的混合血液呈阳性时，则每人平均要验血次。我们计算的数学期望，若，说明分组验血可以减少验血总次数。的数值一定与小组人数有关，计算取不同时的值，可以帮助我们最小的值，从而找到最佳的分组人数。

求解

首先，事件“小组的混合血液呈阴性”就是事件“小组的每一个学生的血液均呈阴性”。 由于“一个学生的血液均呈阳性”概率为，得到“一个学生的血液呈阴性反应”的概率为 ，而一个学生具有个学生的“小组的混合血液呈阴性”的概率为，因而。 其次，事件“该小组的混合血液呈阳性反应”就是事件“小组中至少有一位成员的血液呈阳性反应”，其概率为，因而。 这样我们得到的概率分布为：

概率

根据数学期望的概念，可得每个学生的平均验血次数为

当已知时，我们可以选取，使达到最小。

例如，设某种验血指标在人群中呈阳性的概率为=0.1，选=2，3，…，10，对应的计算结果如下：

	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	0.6900	0.6043	0.5939	0.6095	0.6352	0.6646	0.6945	0.7237	0.7513

上表说明，若取四人一组，即=4，取得最小值。对一个具有1500名学生的学校来说，按此分组的方法验血，平均验血总次数最少，为次。