上海市郊青浦赵屯乡是远近闻名的草莓之乡。每当草莓上市之际，乡农业公司便会向果农收购草莓，装箱后再运往全国各地。公司订购了一批装草莓的纸箱，要求果农们将符合一定质量要求的草莓装箱后送至公司。纸箱的长、宽、高的规格有下列三种36cm36cm36cm

54cm24cm36cm

72cm18cm36cm。公司采购员检验果农们装好箱的草莓时，发现了一个奇怪的现象：在一些相同规格的纸箱中间，某些纸箱看似并未装满草莓，但实际所装的草莓数量却比那些看似装满的还多。这究竟是什么原因造成的呢?

观察果农装箱的过程，可以把草莓装箱方法归结如下：

1. 草莓是分层装箱的，先在箱底铺装第一层，再在第一层上面装第二层，这样一层一层装上去，直到装满纸箱;

2. 第一层总是尽量铺满纸箱底部；

3. 第二层或是“迭装”，即在第一层的每个草莓之上(垂直方向)迭放一个；或是“错装”，即在第一层的每四个草莓之间上方(错开位置)放一个。如图5.1所示：这是装箱的俯视图，黄色的球表示底层的草莓，画阴影的球表示上一层错装的草莓。若第二层是迭装，则第三层可在两种装法中选一；若第二层是错装，则第三层只能仍是错装，其形式如第一层一样铺满这一层。这里“迭装”和“错装”都是相对前一层而言的。例如第三层错装，第四层也错装，结果是第四层和第二层草莓的铺装形式完全一样，数目也一样多。

图5.1错装的示意图

可以想见，装箱方法不同，同样规格尺寸的纸箱所装的草莓数也会不同。那么到底应该如何装箱，纸箱的尺寸比例应该是多少时，才能装尽可能多的草莓呢？

为简化实际情况，我们假设每个草莓的大小和形状都相同，并且假设都是球形。从收购的草莓应符合一定质量的实际出发，“草莓的大小和形状相同”的假设是很自然的。相对而言，“草莓是球形”的假设似乎显得比较牵强，但从便于分析、简化计算的目的来看还是可取的。本案例的最后结果显示，即使是在如此粗略的假设下，我们仍然能用数学模型说明一些问题。因此，在下面的讨论中我们都把草莓看作大小相同的球体。

思考 根据果农的装箱方法和上述假设，一箱中各层的草莓数可能有几种不同数目？

根据草莓的装法，每一层草莓只可能属于下面两种形式之一：或是像第一层那样，铺满这一层；或是像采用错装方式的第二层那样。因而每一层的草莓数目只可能是两个可能的整数之一。为叙述方便，我们把第一种形式称为类型1，第二种形式称为类型2。通过调整上下层次后，可以把每种装箱方法转化下面的形式而不会改变箱内的草莓总数：

底下若干层都按第一层方式装；以后各层都按错装法装箱，即类型2、类型1、类型2、…，两种形式交替出现。设底下都按第一层方式装箱的有层()，这层都属于类型1。而以后各层(设以后共有层)都按错装法装箱，于是第层、第层、第层、…，也都属于类型1。第层、第层、第层、…，都属于类型2。如果我们能计算出两种形式的层次数目，又算出两种形式每层所装的草莓数，我们就能确定纸箱内的草莓总数。

图5.2将装箱方式由（a）调整为（b），不影响总数

根据草莓大小，可以进一步假设草莓的直径为3cm，并以为单位长度表示纸箱的规格尺寸，把纸箱尺寸表示成(长宽高)的形式。由乡农业公司所用的纸箱的规格，可知这里的都是正整数。具体地说，只取121212、18812、24612三种形式。特别应该注意到，三种规格纸箱的高度都是相同的。这一特点将简化下面的分析和计算。当纸箱的尺寸用这种形式表示时，若某层草莓按类型1装箱，这一层草莓的总数为；若某层草莓按类型2装箱，这一层草莓的总数为。

图5.3 错装时层高示意图

由前层的装箱形式，直到(包括)第层草莓的总高度为。第(层草莓中心(球心)离纸箱底面的距离为。第层的每个草莓(球面)与第层的四个草莓的球面相切。连结五个球心可得一个正四棱锥，其高为。于是，最上面一层(第层)草莓球心所在平面与第层草莓球心所在平面的距离为。纸箱内所装的层草莓的总高度和纸箱的高度之间满足不等式

。

上式可以简化为。

（1） 以记纸箱内所装草莓的总数。当为奇数时，有层属于类型2，层属于类型1，因而

。

同理，当为偶数时，各有层分属于类型1和属于类型2，

。

下面我们就不同的高度分别计算。

当纸箱的长宽高为形式时，不等式(1)变成

。

(2) 我们分别取…，先求出满足上述不等式的最大整数，再计算出相应的。例如当 时，不等式(2)变成

。

取＝floor(11)＝floor(15)。这里，floor()是取比小的最大整数，也就是比小而最接近的整数。例如floor(0.3)=0，floor(1.99)=1等等。这里floor(11)＝floor(15.556)＝15。由计算的一般公式是

＝floor((12-))。

计算结果列表如下:

表5.1由、计算的公式如下

		的公式
1	15	1688
2	14	1577
3	12	1566
4	11	1566
5	9	1455
6	8	1444
7	7	1444
8	5	1333
9	4	1332
10	2	121
11	1	121
12		12

对三种不同规格纸箱，即取1212、188、246三种情况时分别计算的数值，得到下面的结果:

表5.2的计算结果

12	188	24
2	2104	2072
3	2129	2101
4	2010	1986
5	2010	1986
6	1891	1986
7	1916	1871
8	1916	1900
9	1822	1900
10	1822	1814
11	1703	1814
12	1703	1699

从以上的计算可知，若装箱时每一层都按类型1装，即取＝12，＝0，看似装满了草莓，但各种规格的纸箱都只能装1728个。当采用其他形式装箱时，却可以装得更多:规格为121212的纸箱，最多可装2143个草莓；规格为18812的纸箱，最多可装2129个草莓；规格为24612$\0\0的纸箱，最多可装2011个草莓。这时看似没有装满，而实际装得更多。

1. 在计算各种装箱方法的草莓总数的公式

中，当、、为常数时，上述公式表明的值依赖于。由，与越接近，则的值越大。由此可得到如下结论: 对于高度和侧面积相同的两种纸箱(此时、、为常数)，当草莓装法一样时，纸箱底面越接近于正方形，所装草莓个数就越多。

2. 对于乡农业公司的问题，我们有以下的解决方案:

在装草莓时，应该尽量用底面为正方形的纸箱，且底下两层草莓按类型1装箱，其余按照上下两层错装方式装箱。这种装箱方法可以使所装草莓的数量最多，达到装箱的成本最低、效益最高。

本案例根据华东师范大学二附中曹淼同学小论文改写