图4.1中所示是一种喷洒灌溉系统，它由一个带轮子的长水管和在它上面等间距排列的喷头组成。

图4.1喷洒灌溉系统示意图

在使用该系统时，水从喷头中喷出，同时以不变的速度向前(垂直于的方向)平行推进。

假设喷灌系统水压稳定，并且每个喷头能将水均匀地喷洒在以喷头为中心、20cm为半径的圆形区域内。问怎样确定相邻喷头的间距，可以使土地各处受水最均匀？

完全同样的问题也出现在工厂的喷漆设备中，只是喷水管理解为喷漆管。此时喷漆管不动，要喷漆的平板均匀向前移动，要求平板上各点喷到的漆最均匀。

问题要求的是使地块各处受水均匀。所以，首要的问题是怎样刻画地块受水的均匀程度？一种简单的想法是，我们找出地块中受水量最多和最少的两点，用它们的受水量之差来度量地块受水的均匀程度。可以想见，这个差值越小，地块各点的受水越均匀。

除了前面水压稳定、喷头能均匀喷洒半径为20cm的圆形区域外，我们还要作一些假设：

1． 喷头排列间距较稀，不会使地块中一个点同时被三个喷头喷洒到。

这是为了简化问题，用下面分析问题的方法，我们同样可以讨论有一个点同时被三个喷头喷洒到的情况。

2． 我们不考虑在水管最边缘喷头的情况。

一方面这个假设是为了简化讨论，另一方面因为在实际使用该喷灌系统时，当系统从地块的一端移动到另一端时，系统在横向移动(移动的距离等于的长度)后再反向进行喷灌，此时边缘区域可以在系统的往复喷灌中得到补偿，而地块中真正受边缘影响的区域不大。

记相邻两喷头的间距为。当<20时，圆心将受到多于两个喷头的喷洒；当>20时，至少两圆圆心连线的中点得不到任何喷头的喷洒。因而所要考虑的的范围是[20，40]。

考虑图4.2中所示的两个相邻喷头之间的情况。图中的两个圆分别是这两个喷头喷洒的区域。以记喷头喷洒的区域的半径，=20。在图示的坐标系中，喷头的坐标分别为。由于使用喷灌系统时长水管匀速向前作直线运动，而每个喷头可以将水均匀地喷洒在办径为20cm的圆形地块上，因而地块上每点的受水量便与受喷洒时间成正比。地块中垂直于轴的直线(例如图中的直线)上的每一点受水量都是相同的，它们的受水量与该直线与喷洒圆相交弦长成正比；在两圆的重叠区域内，由于这些点同时受到两个喷头的喷洒，受水量应按两段弦长之和计算。

图4.2两圆的重叠区域

下面我们推导表示地块各点受水量的有关弦长的数学表达式。以与轴交点的横坐标为自变量，以记上述弦长。因喷头的间距相同，随呈周期性变化，周期为的长度即。同时，对轴上区间[0，]来说，其内各点受水情况关于过两圆交点的直线是对称的。因而我们只要考虑的情况。当时，各点只受到喷头的喷洒；当时，各点同时受到喷头的喷洒。于是可列出的表达式:

按照前面对受水均匀程度数量刻画的思想，当喷头间距为时，我们定义各点受水均匀程度的指标函数为

其中分别表示在上的最大和最小值，即

，

问题变成求使达到最小值的。

为帮助了解的变化情况，以便找到它的最大值和最小值，取25和30两种具体数值，可以计算的值，画出相应的图象。

图4.3的图象

从图中我们可以看到，的最大值大约在0或/2处取得，最小值大约在－处取得。

下面我们从理论上分析的最大值和最小值的位置。

我们分和两个区间讨论的最值。比较在这两个区间上相应的最值（择其大者或小者）就可以得到上的最值。

1． 在上的最值

由图4.3可见，当时，两圆没有重叠部分，此时随着的增大而减小。于是有

因而在这个区间内，的最值为

最大值 ，

最小值 。

2． 在上的最值

从图上可以看到，随的增大，圆内的弦将变短，圆内的弦将变长，因而究竟如何变化难以确定。但是相对轴而言，在点点左旁，圆圆弧比较平坦，圆的圆弧比较陡峭，因而我们可以猜想，当变化相同的值时，增加的弦的长度要比减少的弦的长度大，因而两者之和会随的增大而增大，这样在这个区间上，的最小、最大值分别在该区间的左右端点上达到。即在该区间内，

最小值

最大值

3． 在上的最值

在上的最大值，就是中的较大者；在上的最小值，就是中的较小者。因此在上的最值的表达式如下：

，

为进一步分析在的表达式中何时取2，何时取4，先要注意到2就是直径，而4＝。现在观察当两圆处于下图所示的特别位置上的情况（图4.4），即两圆交线的长度等于半径时的情况。此时恰是一个等边三角形，是一个等边三角形的右半部分。。对应的。

图4.4 表达式的讨论

当圆 从这个位置沿轴远离圆时，即由增大时，两圆交线的长度将减小，从而有；当圆 从这个位置沿轴移近圆时，即由减小时，两圆交线的长度将增大，从而有。这就是说，在上的最大值与的取值范围有关：于是

这样，我们得到了受水均匀度指标的表达式：

我们的数学模型就是在的范围内求的最小值。

由于是分段函数，仍然分和两个区间上讨论其最小值，择其小者即的最小值。

在上的最小值在处取得，最小值为

在上的最小值可以用改写的表达式后容易得到：

分子随的增大而减小，分母随的增大而增大，因而在上的最小值在处达到。与在上的最小值一致。

这样我们得到的最小值在处达到。