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第三课家具进屋

讨论家具是否能顺利搬运到目的地。应用的数学工具是解析几何知识。

关注从实际生活中发现问题，构造数学模型予以解决的全过程。把握能否顺利搬运家具的条件并用数学公式表示。

一、问题提出

在生活中搬运物件时常会遇到这样难堪的事：一件大家具好不容易搬进了大门，却搬不进电梯；好不容易上了楼，却不能拐过走廊或者搬进房门。这时，最好的办法是事先量量家具、走廊或电梯的尺寸，计算家具是否能搬进电梯或房间，以免浪费时间和人力。

请对下面两个具体例子作分析计算，看看能否成功地把物件搬运到目的地？

例1 商店一辆送货小推车，长2.2米、宽1米，能否拐进居民大楼1.5米宽的直角走廊？

例2 一条直角走廊宽1.3米，一件水平截面如下图所示的家具，是否能拐进这条直角走廊？

图3.1例2的家具和走廊示意图

分析

尝试家具为什么不能搬进屋？

为找到问题的关键所在，先来作下面的模拟实验：

1．在纸上按1：200的比例画一条宽1.5m的直角走廊；

2．用硬纸片按同样的比例剪两辆小推车的矩形平面图：小推车的长度都是2.2m，一辆宽0.9m，另一辆宽1.2m；

3．在纸上走廊的范围内连续地移动小车，看看两辆小车是否能转过走廊？

思考 1 当小车不能转过走廊时，小车和走廊墙的位置有什么特点？

2 这个特点如何用数学公式表述？

3 家具能搬进屋的条件是什么？

如果你得到了自己的结论，你就可以尝试解决本例的两个具体例子中的问题。

假设：

虽然有时在现实生活中，只有把小推车或家具折迭或拆卸成更小的部分，才能把它们搬运到目的地，但在本例中我们总假设小推车或家具的外形不可改变。我们还假设：只要小推车或家具不被走廊的墙壁“卡住”，我们就能灵活地移动它们。这里说的“移动”，包括小推车或家具的平动和转动。我们要分析在给定的条件下，小推车或家具是否能连续地、无障碍地移动到目的地。

二、例1的研究

数学建模 为分析问题方便，我们建立坐标系如图3.2(a)：以走廊的外转角点为坐标系原点O，两段墙壁分别在轴上和轴上。在此坐标系下，走廊的内转角点的坐标为。由所给数据，。

图3.2小推车移动示意图

先看看小推车转弯的过程。我们设想先把它推到走廊尽头，让它的一边和轴接触，一边和轴接触(图3.2(a))，然后让沿轴移动，点沿轴移动，让小推车慢慢转过弯来。如果小推车在移动的过程中被墙壁“卡住”，则必然是墙壁的内转角点碰到了小推车的一边(图3.2(b))，并且再转动家具，点就会进入到矩形的内部，损坏家具。这就是说，

若小推车在移动的过程中，点到的距离总是大于小推车的宽度1m，则小推车就能顺利地转过直角走廊。

观察图3.2(c)中所示小推车的位置，以表示小推车边的长度(=2.2)，以记小推车边和轴的夹角。所在直线在轴上的截距分别为，该直线的方程为

。

可改写成。

点到的距离为

要判断是否总大于小推车宽度。设

。

得到小推车能否转过直角走廊的准则：如对所有恒有，则小推车可以转过直角走廊；如有某个角度，使得，则小推车不能转过直角走廊。

求解

方法一：将从0到90每次增加1，通过编程计算的值，可以发现恒为正。小推车可以转过直角走廊。

方法二：上述解法要通过大量计算才能得到结果，而且从理论上说，再多的计算也不能穷尽从0到90的所有的值。现在用另外的方法来解决这个问题。

由于当时，

，

先考察函数（即除去表达式中的绝对号）的最小值，并将该最小值和比较。改写为

。

。由解得。可验证函数此时取得最小值。以代入，最小值约为1.02m，大于小推车宽度1m。小推车可以转过直角走廊。

三、例2的情况

数学建模

首先看看家具是否能搬进水平走向的走廊。如果照图3.1所示的位置平移搬动，因为走廊宽1.3米，家具垂直方向和水平方向的长都是1.4米，家具是不可能搬进走廊中去的。因此，在搬家具进走廊前先试试转动一个角度，看看转动后家具是否能搬进走廊。

通过转动可以发现，当按图3.1中的位置旋转到图3.5的位置时，在垂直方向的尺寸最短。这个尺寸恰为点到家具的一条边的距离。下面计算这段距离。

图3.3家具旋转后的位置

连接，过点、点分别作的垂线和。点到的距离等于。由于和都是等腰直角三角形，有

，

。

于是点到的距离等于<1.3。因而我们先把家具旋转到如图3.3的位置，搬进水平方向的走廊中去。

接下来同问题1的情况一样。建立如图3.3所示的坐标系。记走廊内拐角点坐标为()。

设想把家具旋转成图3.4的姿态，把家具搬到走廊的尽头，使得家具处于这样一个位置：一个角在轴上，一个角在轴上。保持点始终和轴接触，点始终和轴接触，慢慢把家具转过走廊。这样，我们仍然和问题1一样，把问题归结为，在家具连续的移动过程中，家具的一边是否会被走廊的拐角点卡住。如果能计算得到到的距离始终大于零，则家具就能转进走廊。