第二课 足球射门的最佳位置  
 

本课讨论足球队员射门的最佳位置。首先要理解最佳位置是什么含义，然后在一定的假设下把求最佳位置的问题化为数学问题（数学模型），最后求解，并对解进行讨论，将结果归结成有便于实际应用的形式。

 
 

在案例中要体会数学建模的一般过程。在数学建模过程中要注意如何由问题的提出深入到问题的关键（如此处的张角），如何从复杂的情景中简化而提出必要的假设，如何用数学公式表示有关的量并形成数学问题，最后在解决问题后如何用合适的形式总结所得的结论。

  
   
 
 一、问题提出

在足球场上，当一个足球运动员沿球场边线带球向对方球门进攻时，对方的防守队员常常力求把他挤逼到角球区。这是因为，在角球区附近“角度很小”，进攻队员射门或者把球传出去都很困难。现在请你想一想: 在不考虑双方运动员球技差别和各种不同攻守策略情况下，进攻队员在球场边线什么位置上射门最有利？

查阅有关资料，标准足球场如下图所示(实际标准球场的各种长度只要求在一定范围内)。

图2.1 足球场示意图（球门中点就是底线中点）

思考 进攻队员最佳的射门位置应该有什么特点？
 二、分析假设

设进攻队员的最佳位置为图2.2中所示的点。

图2.2球门对点张角的含义

在不考虑对方防卫和双方运动员技术差异的假设下，射门的“角度”越大越好。确切地说，应该是球门对该点的张角越大越好。球门对点的张角是指图2.2中的，它是球门两端点、和点连线的夹角。

用在图中连线的方法不难看出， 沿边线，球员远离球门或接近球场的角球点处时，这个角度都很小。因而可以想像，在边线上某个位置上，这个角度必然达到最大值。我们就是要求的值，使达到最大值。

 
 三、数学建模

当球员离球门的水平距离为时，因为，先可以用公式表示出和：

， 。

记球场长度的一半为，我们只需在的条件下进行讨论。 模型归结为:

求， 使达到最大值。

求解

的表达式中有反三角函数，直接求最大值有困难。 由于， 在这个范围内是的增函数。因此，当取得最大值时，达到最大值；反之， 当取得最大值时，也达到最大值。这样，我们把问题转化成求，使取得最大值。

。

由于上式右端的分子常数，问题变成：求，使取最小值。

因为，当且仅当时取等号。所以当时，取得极大值，此时张角取得最大值arctan。 以已知的数据代入，当m时，达到最大值，最大值为6.5。

 四、验证讨论

讨论1 当球员在沿平行于边线且离边线距离为的直线上向对方球门进攻时，他最佳的射门位置在何处?

显然，最佳位置和有关。事实上，这时只要用代替，用代替，按上述导出的理论公式，即可得到最佳位置和的关系:

。

这里要求。当时，容易验证对应的。根据不同的，将最佳射门位置画成图2.5中的一条曲线。如果运动员沿平行于边线且离边线距离为的直线进攻时，该图显示，射门的最佳位置就是直线和曲线的交点。

图2.3平行于边线且离边线距离为的直线上的最佳射门位置 将改记为，图中的曲线方程为

或。

思考：这是什么圆锥曲线？

讨论2 如果足球运动员是沿一条和球门中心连线成某一个角度的直线进攻，他在何处射门最有利?

图2.4 沿斜线的射门位置

建立坐标系如图2.4。设运动员沿直线向左运动，当他在位置点时，我们计算球门对这点的张角。这里是直线在轴上的截距，我们只讨论的情况。此处,是该直线和轴(球场边线)的夹角。

，

，

。

上式分母可以改写成

。

和上面讨论相似，当时，当且仅当时分母达到最小值，由此从而达到最大值。即当时达到最大值。此时最佳的射门位置的坐标如下: ，。

同样，画出当不变时，最佳射门的位置和的关系如下图：

图2.5沿（不变）的最佳射门位置

图中点的坐标为(0,)。该曲线显示当运动员沿一条过的直线进攻时的最佳射门位置。例如图中点表示: 当进攻队员沿直线上运动时，该直线与曲线的交点就是该路线上的最佳射门位置(上图中取=5，从-0.1到1.2变化)。