例3 太阳系行星发现历史中的数学模型
十八世纪中叶，天文学家已经发现的太阳系的行星及其位置从内到外排列如下表：
| 行星 |
水星 |
金星 |
地球 |
火星 |
木星 |
土星 |
| 距离B |
3.9 |
7.2 |
10.0 |
15.2 |
52.0 |
95.3 |
其中B是行星到太阳的距离，以地球到太阳距离的十分之一作为单位1。
法国天文学家博德分析和观察上面的数据，对照数学中有关的数学公式，提出了太阳系行星和太阳距离的推算公式，这个公式被人称为“博德规律”。我们现在的问题是：是否也能根据上表的信息找出太阳系行星位置的分布规律。
分析假设 不过我们要提示一点，在博德那个年代，太阳系中还有许多行星尚未被发现。而正是基于“存在尚未被发现的行星”的大胆假设，博德才可能提出富有新意的“博德规律”。
博德观察数据后相信：行星到太阳的距离和该行星到太阳远近的序列数有关，而这种关系可以用一个简单的数列表示。这样我们可以把模型的假设归结为:
1、在已经发现的行星之间或外边太阳系还存在尚未被发现的行星；
2、把太阳系行星按到太阳的距离由近至远编号排序，则行星到太阳的距离可以用一个简单的数列表示。
这也就是博德模型的基本假设。
如果我们把上表中的行星编号并列表如下：
| 编号n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 行星 |
水星 |
金星 |
地球 |
火星 |
木星 |
土星 |
| 距离B |
3.9 |
7.2 |
10.0 |
15.2 |
52.0 |
95.3 |
为了便于思考，我们画出行星编号n和距离B的关系图。
图1.3行星编号n和距离B的关系
从上图可以看出，前四颗行星的距离在一条“光滑”的曲线上，而后面行星与前面行星的连线却有明显的波折，不是这条光滑曲线的自然延伸。于是我们进一步假设：
前四颗行星之间没有未被发现的行星。
我们将力求找出前四颗行星离太阳的距离和它们序号的数量关系，即找一个适当的数列 ，使得数列中的项 恰与表中的距离接近。
我们的问题变成:：求 ，满足
 其中l< m都是待求的自然数。
模型求解 因为这里要求的数列只是满足一些近似关系，这样的数列有很大的不确定性。我们可以用某些数列尝试求解。历史上博德提出的公式是：
这里，n是行星按离太阳的距离从近到远的编号。但是水星n=1例外，计算时上述公式右边的第一项取0。对应的l=4，m=5。这是一个简单的太阳系行星位置的分布规律的数学模型。
讨论验证 博德公式的推算的结果和实际测量的结果如下：
| 行星 |
n |
理论距离 |
实际距离 |
| 水星 |
例外 |
4 |
3.9 |
| 金星 |
2 |
7 |
7.2 |
| 地球 |
3 |
10 |
10.0 |
| 火星 |
4 |
16 |
15.2 |
| 小行星×(1801) |
5 |
28 |
27.6 |
| 木星 |
6 |
52 |
52.0 |
| 土星 |
7 |
100 |
95.3 |
| 天王星×(1782） |
8 |
192 |
192 |
| 海王星×(1846） |
9 |
388 |
301 |
| 冥王星×(1903） |
10 |
722 |
396 |
表中带×的行星是博德提出他的推算公式以后陆续被发现的，×后括号内的数字是发现该行星的时间。从表中可见，博德公式推算的距离和当时已经发现的行星距离是很符合的。后来在1782年，天文学家威廉?赫歇尔发现了天王星，它离太阳的距离是192，也符合博德公式。此后天文学家曾因找不到博德公式中距离为28的行星而焦虑不安。终于在1801年天文学家在火星和木星之间发现了第一颗小行星，它离太阳的距离为27.6，符合博德公式的推测。后来天文学家又发现了大量的小行星，它们的轨道基本介于火星和木星之间。此后在博德公式成功预言的鼓舞下，1846年天文学家又发现了海王星，它离太阳的距离为301，以及在1903年发现的冥王星，它离太阳的实际距离为396，和博德公式计算的距离都有很大的差距。说明博德公式不适合离太阳距离较远的行星。
总之，博德规律和当时已经知道的天文数据相当符合，和后来发现的离太阳较近的行星的数据也很相符。但是对离太阳较远的行星来说，博德规律不再成立。因此，博德的数学模型在一定的范围内是正确的，而历史上这个公式也确实帮助科学家发现了新行星，应该说，这是一个成功的数学模型的例子。
这个例子说明，数学建模是一种创造性的思维活动，需要有一定的数学知识，但更需要敏锐的洞察力和想像力和不受陈规约束的创新精神。
下面列出部分近年来上海市中学数学知识应用竞赛中优秀论文的题目，供参考。从这些题目中可以看到，中学生对现实中数学应用问题的观察和思考是非常活跃的。 |
。问哪种冲洗方案可使蔬菜上残留农药量比较少？
和蔬菜上的残留农药量
，它们之间的关系是：用水越多，冲洗后残留农药量越少。但此处已知的信息还不足以确定残留农药与冲洗用水量之间的函数关系。因为哪种冲洗方法效果好，必然与这个函数有关，我们可以假设一个函数
来进行讨论。
公斤的水冲洗一次后，蔬菜残留的农药为冲洗前的农药量的
倍。
由已知信息知，
的定义域为
，值域是
，
，且
是
的单调减函数。根据这些性质，我们来设置
。
，
。如果用4公斤水一次冲洗，那么残留的农药量是原来的
倍；如果把4公斤水分两次冲洗，那么第一次用2公斤水冲洗后，残留的农药量是原来的
倍，第二次再用2公斤水冲洗，残留的农药量是第一次冲洗后农药量的
，即二次冲洗后残留的农药量是原农药量的
。于是可知，分两次冲洗比一次冲洗的效果更好。
，
。如果用4公斤水一次冲洗，那么残留的农药量是原来的
倍；如果4公斤水分两次冲洗，第一次用2公斤水冲洗后，残留的农药量是原来的
倍；第二次再用2公斤水冲洗后，残留的农药量是原农药量的
。结果也是分两次冲洗比一次冲洗的效果更好。
和
），都得到“两次冲洗比一次冲洗的效果更好”的结论。但这个结论并不一定在任何情况下都成立。
就拿
来说，如果将上述条件中的“4公斤”改为“2公斤”，那么将2公斤水一次冲洗后，残留的农药量是原来的
倍；而分两次冲洗后，残留的农药量是原来的
倍，可得一次冲洗比两次冲洗的效果好。
，还可以考虑其他形式的情况。本问题答案最终的评判还要依赖于实践的验证，比分说，实测两种冲洗方案的效果。
